Mostre que os polinômios 1,1-t,(1-t)^2 e (1-t)^3 >=ram P3(R) e são l.i., ou seja, formam uma base de P3(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os polinômios , , e geram o espaço e que eles são linearmente independentes, ou seja, formam uma base desse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto gerar um espaço vetorial e o que é a independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Um conjunto de polinômios gera se qualquer polinômio desse espaço puder ser escrito como uma combinação linear dos polinômios do conjunto.

Passo 3

Vamos verificar se qualquer polinômio p(t) = c1 cdot 1 + c2 cdot (1-t) + c3 cdot (1-t)^2 + c4 cdot (1-t)^3 pode ser escrito como uma combinação linear de , , e . Isso significa que precisamos encontrar constantes tais que:

Passo 4

Expandindo os termos:
(1-t)^2 = 1 - 2t + t^2
(1-t)^3 = 1 - 3t + 3t^2 - t^3
Substituindo na equação de a0 + a1 t + a2 t^2 + a3 t^3 = c1 + c2 (1 - t) + c3 (1 - 2t + t^2) + c4 (1 - 3t + 3t^2 - t^3) , temos:

Passo 5

Agora, vamos igualar os coeficientes dos mesmos poderes de a0 = c1 + c2 + c3 + c4 nos dois lados:
  • Termo constante:
a1 = -c2 - 2c3 - 3c4
  • Coeficiente de a2 = c3 + 3c4 :
a3 = -c4
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :

Passo 6

Temos um sistema de equações:
a0 = c1 + c2 + c3 + c4 a1 = -c2 - 2c3 - 3c4 a2 = c3 + 3c4 a3 = -c4
Podemos resolver esse sistema para encontrar em termos dos coeficientes .

Passo 7

Resolvendo a última equação:
c4 = -a3
Substituindo na terceira equação:
a2 = c3 + 3(-a3) Rightarrow c3 = a2 + 3a3
Substituindo a1 = -c2 - 2(a2 + 3a3) - 3(-a3) Rightarrow a1 = -c2 - 2a2 - 6a3 + 3a3 Rightarrow c2 = -a1 - 2a2 - 3a3 e a0 = c1 + (-a1 - 2a2 - 3a3) + (a2 + 3a3) + (-a3) na segunda equação:
a0 = c1 - a1 - 2a2 - 3a3 + a2 + 3a3 - a3 Rightarrow c1 = a0 + a1 + a2 + a3
Finalmente, substituindo todos na primeira equação:
Simplificando:

Passo 8

Encontramos que para qualquer polinômio em , existem coeficientes que satisfazem a combinação linear. Portanto, os polinômios , , e geram .

Passo 9

Agora, vamos verificar a independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é quando todos os coeficientes são zero. Então, consideramos:
c1 cdot 1 + c2 cdot (1-t) + c3 cdot (1-t)^2 + c4 cdot (1-t)^3 = 0
Expandindo e igualando os coeficientes a zero, teremos um sistema homogêneo.

Passo 10

Igualando os coeficientes:
c1 + c2 + c3 + c4 = 0 -c2 - 2c3 - 3c4 = 0 c3 + 3c4 = 0 -c4 = 0
Da última equação, c3 = 0, c2 = 0, c1 = 0 . Substituindo nas anteriores:
A única solução é , o que confirma a independência linear.

Resposta

Portanto, os polinômios , , e geram e são linearmente independentes, formando uma base de .

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