Mostre que os polinômios e são l.i., ou seja, formam uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os polinômios , , e geram o espaço e que eles são linearmente independentes, ou seja, formam uma base desse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto gerar um espaço vetorial e o que é a independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Um conjunto de polinômios gera se qualquer polinômio desse espaço puder ser escrito como uma combinação linear dos polinômios do conjunto.
Passo 3
Vamos verificar se qualquer polinômio pode ser escrito como uma combinação linear de , , e . Isso significa que precisamos encontrar constantes tais que:
Passo 4
Expandindo os termos:
Substituindo na equação de , temos:
Passo 5
Agora, vamos igualar os coeficientes dos mesmos poderes de nos dois lados:
Termo constante:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Passo 6
Temos um sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar em termos dos coeficientes .
Finalmente, substituindo todos na primeira equação:
Simplificando:
Passo 8
Encontramos que para qualquer polinômio em , existem coeficientes que satisfazem a combinação linear. Portanto, os polinômios , , e geram .
Passo 9
Agora, vamos verificar a independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é quando todos os coeficientes são zero. Então, consideramos: