Mostre que o conjunto
e
é aberto em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto
é aberto em
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto no espaço bidimensional e usar alguns conceitos de topologia básica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto aberto em
. Um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, conseguimos desenhar um pequeno “círculo” ao redor desse ponto que também está totalmente contido no conjunto. Isso significa que não há pontos na borda do conjunto.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto dado:
-
: Essa inequação descreve todos os pontos acima da parábola . -
: Isso significa que está entre -2 e 2, ou seja, estamos limitando o conjunto horizontalmente.
Então, nosso conjunto é a região acima da parábola
e entre
e
.
Passo 4
Para mostrar que esse conjunto é aberto, vamos pegar um ponto qualquer
que pertence a ele. Isso quer dizer que
e
. Queremos encontrar um raio
tal que todo ponto dentro do círculo de raio
centrado em
também pertença ao conjunto.
Passo 5
Vamos determinar qual deve ser esse raio
. Precisamos garantir duas coisas:
- Que o círculo não toque ou ultrapasse a parábola
. - Que o círculo não saia dos limites
e .
Para isso, escolhemos
como o menor valor entre a distância vertical de
até a parábola e a distância horizontal até
ou
.
Passo 6
Matematicamente, podemos expressar o raio
assim:
Esse raio garante que, ao movermos qualquer ponto dentro desse círculo, ainda estaremos acima da parábola e dentro dos limites horizontais.
Passo 7
Com esse raio definido, concluímos que para qualquer ponto
no conjunto, existe um círculo aberto ao seu redor que também está totalmente contido no conjunto. Isso satisfaz a definição de um conjunto aberto.
Resposta
Portanto, o conjunto
é aberto em
.
Exercícios relacionados
Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados.
se
se
Mostre que os limites das funções dadas, quando
, não existe.
Seja
a função definida para
por
Verifique que
Conclua que não existe o limite
.
Seja
uma função diferenciável num ponto a
e tal que
e
, onde
e
.
(a) Determine os pontos tais que
.
(b) Determine o gradiente .
(a) Determine os pontos
(b) Determine o gradiente