Mostre que o conjunto e é aberto em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto é aberto em . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto no espaço bidimensional e usar alguns conceitos de topologia básica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto aberto em . Um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, conseguimos desenhar um pequeno “círculo” ao redor desse ponto que também está totalmente contido no conjunto. Isso significa que não há pontos na borda do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto dado:
  1. : Essa inequação descreve todos os pontos acima da parábola .
  2. : Isso significa que está entre -2 e 2, ou seja, estamos limitando o conjunto horizontalmente.
Então, nosso conjunto é a região acima da parábola e entre e .

Passo 4

Para mostrar que esse conjunto é aberto, vamos pegar um ponto qualquer que pertence a ele. Isso quer dizer que e . Queremos encontrar um raio tal que todo ponto dentro do círculo de raio centrado em também pertença ao conjunto.

Passo 5

Vamos determinar qual deve ser esse raio . Precisamos garantir duas coisas:
  1. Que o círculo não toque ou ultrapasse a parábola .
  2. Que o círculo não saia dos limites e .
Para isso, escolhemos como o menor valor entre a distância vertical de até a parábola e a distância horizontal até ou .

Passo 6

Matematicamente, podemos expressar o raio assim:
Esse raio garante que, ao movermos qualquer ponto dentro desse círculo, ainda estaremos acima da parábola e dentro dos limites horizontais.

Passo 7

Com esse raio definido, concluímos que para qualquer ponto no conjunto, existe um círculo aberto ao seu redor que também está totalmente contido no conjunto. Isso satisfaz a definição de um conjunto aberto.

Resposta

Portanto, o conjunto é aberto em .

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se
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(a) Determine os pontos tais que .
(b) Determine o gradiente .