Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados.
se
se

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que é definida de duas maneiras diferentes: uma para qualquer ponto que não seja e outra especificamente para o ponto . O assunto aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Nosso objetivo é verificar se essa função é contínua no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se o limite da função quando nos aproximamos de for igual ao valor da função nesse ponto.
Matematicamente, para verificar a continuidade de em , precisamos verificar se:
Sabemos que , então precisamos ver se o limite é também 0.

Passo 3

Para facilitar o cálculo desse limite, vamos usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, substituímos e por:
onde é a distância do ponto ao origem e é o ângulo.
Substituindo na função:

Passo 4

Agora, observamos que é uma função que depende apenas de e não de . Isso significa que, à medida que se aproxima de 0, o valor de permanece constante para um dado .
No entanto, para o limite existir, o resultado deve ser o mesmo independente do caminho que escolhemos para chegar a . Como pode assumir diferentes valores dependendo de , o limite não é único.

Passo 5

Por exemplo, se escolhermos , temos:
Já se escolhermos , temos:
Como os limites são diferentes dependendo do valor de , concluímos que o limite não existe.

Resposta

A função não é contínua no ponto .

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Mostre que os limites das funções dadas, quando , não existe.
Resolva a EDO dada por separação de variável
Mostre que o conjunto e é aberto em .
Seja a função definida para por
Verifique que
Conclua que não existe o limite .