Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados.
se
se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
que é definida de duas maneiras diferentes: uma para qualquer ponto
que não seja
e outra especificamente para o ponto
. O assunto aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Nosso objetivo é verificar se essa função é contínua no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto
se o limite da função quando nos aproximamos de
for igual ao valor da função nesse ponto.
Matematicamente, para verificar a continuidade de
em
, precisamos verificar se:
Sabemos que
, então precisamos ver se o limite é também 0.
Passo 3
Para facilitar o cálculo desse limite, vamos usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, substituímos
e
por:
onde
é a distância do ponto ao origem e
é o ângulo.
Substituindo na função:
Passo 4
Agora, observamos que
é uma função que depende apenas de
e não de
. Isso significa que, à medida que
se aproxima de 0, o valor de
permanece constante para um dado
.
No entanto, para o limite existir, o resultado deve ser o mesmo independente do caminho que escolhemos para chegar a
. Como
pode assumir diferentes valores dependendo de
, o limite não é único.
Passo 5
Por exemplo, se escolhermos
, temos:
Já se escolhermos
, temos:
Como os limites são diferentes dependendo do valor de
, concluímos que o limite não existe.
Resposta
A função não é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Mostre que os limites das funções dadas, quando
, não existe.
Resolva a EDO dada por separação de variável
Mostre que o conjunto
e
é aberto em
.
Seja
a função definida para
por
Verifique que
Conclua que não existe o limite
.