Mostre os conjuntos
são bases dos
-espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual que 3
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem três conjuntos de polinômios:
Queremos mostrar que cada um desses conjuntos é uma base do espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3, denotado por
. Para isso, precisamos entender o que é uma base:
- Linearmente Independentes: Nenhum polinômio do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
- Geram o Espaço: Qualquer polinômio de grau ≤ 3 pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios do conjunto.
Vamos verificar esses dois pontos para cada conjunto
,
e
.
Passo 2
Verificando a Linearidade em
Primeiro, vamos analisar
.
Esses são os polinômios básicos que comumente definem o espaço
. Cada polinômio tem um grau diferente:
-
é de grau 0, -
é de grau 1, -
é de grau 2, -
é de grau 3.
Como cada polinômio tem um grau único, não é possível escrever nenhum deles como combinação linear dos outros. Portanto,
é linearmente independente.
Passo 3
Verificando a Geração em
Agora, precisamos mostrar que qualquer polinômio
pode ser expresso como uma combinação linear dos elementos de
.
Um polinômio geral em
é:
Note que ele já está expresso como uma combinação linear dos elementos de
. Ou seja:
Portanto,
gera todo o espaço
.
Passo 4
Conclusão para
Como
é linearmente independente e gera
, podemos concluir que
é uma base de
.
Passo 5
Verificando a Linearidade em
Agora, vamos para
.
Para verificar se são linearmente independentes, assumimos que:
Queremos mostrar que a única solução é
.
Expandindo a equação:
Simplificando:
Para que esse polinômio seja zero para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero:
Resolvendo de baixo para cima:
-
-
→ -
→ -
→
Portanto, a única solução é
, o que mostra que
é linearmente independente.
Passo 6
Verificando a Geração em
Precisamos mostrar que qualquer polinômio
pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de
.
Vamos tentar expressar
usando
:
Expandindo:
Igualando aos coeficientes de
:
Resolvendo de baixo para cima:
-
-
→ -
→ → -
→ →
Portanto, podemos sempre encontrar
que satisfazem as equações, o que significa que
gera
.
Passo 7
Conclusão para
Como
é linearmente independente e gera
, concluímos que
é uma base de
.
Passo 8
Verificando a Linearidade em
Agora, vamos analisar
.
Assumimos que existe uma combinação linear que resulta no zero:
Expandindo:
Simplificando:
Para que isso seja igual a zero para todo
, os coeficientes devem satisfazer:
Resolvendo de baixo para cima:
-
→ -
-
→ → -
→ →
Portanto, a única solução é
, mostrando que
é linearmente independente.
Passo 9
Verificando a Geração em
Vamos mostrar que qualquer polinômio
pode ser escrito como combinação linear dos elementos de
:
Expandindo:
Igualando aos coeficientes de
:
Resolvendo de baixo para cima:
-
→ -
-
→ → → -
Simplificando:
→
Portanto, podemos sempre encontrar
que satisfazem as equações, o que significa que
gera
.
Passo 10
Conclusão para
Como
é linearmente independente e gera
, concluímos que
é uma base de
.
Resposta
Todos os conjuntos
,
e
são bases do espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3,
.
Exercícios relacionados
Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(j) ;
(j)
Considere o subconjunto de
Responda com justificativa.
(d) O vetor pertence a
?
(d) O vetor
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(e) ;
(e)
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(j) ;
(j)