Mostre os conjuntos
B1=1, x, x^2, x^3, B2=1,1+x, 1+x+x^2, 1+x+x^2+x^3 e B3=3,1-x, 1+2 x-x^3, 1+x+x^2
são bases dos k𝕜-espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual que 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem três conjuntos de polinômios:
B1=1, x, x^2, x^3, B2=1,1+x, 1+x+x^2, 1+x+x^2+x^3, B3=3,1-x, 1+2x-x^3, 1+x+x^2
Queremos mostrar que cada um desses conjuntos é uma base do espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3, denotado por P3(k)𝕜. Para isso, precisamos entender o que é uma base:
  1. Linearmente Independentes: Nenhum polinômio do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Geram o Espaço: Qualquer polinômio de grau ≤ 3 pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios do conjunto.
Vamos verificar esses dois pontos para cada conjunto B1, B2 e B3.

Passo 2

Verificando a Linearidade em B1
Primeiro, vamos analisar B1 = 1, x, x^2, x^3.
Esses são os polinômios básicos que comumente definem o espaço P3. Cada polinômio tem um grau diferente:
  • 1 é de grau 0,
  • x é de grau 1,
  • x^2 é de grau 2,
  • x^3 é de grau 3.
Como cada polinômio tem um grau único, não é possível escrever nenhum deles como combinação linear dos outros. Portanto, B1 é linearmente independente.

Passo 3

Verificando a Geração em B1
Agora, precisamos mostrar que qualquer polinômio p(x) in P3(k)𝕜 pode ser expresso como uma combinação linear dos elementos de B1.
Um polinômio geral em P3 é:
p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3
Note que ele já está expresso como uma combinação linear dos elementos de B1. Ou seja:
p(x) = a0 cdot 1 + a1 cdot x + a2 cdot x^2 + a3 cdot x^3
Portanto, B1 gera todo o espaço P3(k)𝕜.

Passo 4

Conclusão para B1
Como B1 é linearmente independente e gera P3(k)𝕜, podemos concluir que B1 é uma base de P3(k)𝕜.

Passo 5

Verificando a Linearidade em B2
Agora, vamos para B2 = 1, 1+x, 1+x+x^2, 1+x+x^2+x^3.
Para verificar se são linearmente independentes, assumimos que:
c1 cdot 1 + c2 (1+x) + c3 (1+x+x^2) + c4 (1+x+x^2+x^3) = 0
Queremos mostrar que a única solução é c1 = c2 = c3 = c4 = 0.
Expandindo a equação:
c1 + c2(1 + x) + c3(1 + x + x^2) + c4(1 + x + x^2 + x^3) = 0
Simplificando:
(c1 + c2 + c3 + c4) + (c2 + c3 + c4)x + (c3 + c4)x^2 + c4 x^3 = 0
Para que esse polinômio seja zero para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser zero:
  1. c1 + c2 + c3 + c4 = 0
  2. c2 + c3 + c4 = 0
  3. c3 + c4 = 0
  4. c4 = 0
Resolvendo de baixo para cima:
  1. c4 = 0
  2. c3 + 0 = 0 c3 = 0
  3. c2 + 0 + 0 = 0 c2 = 0
  4. c1 + 0 + 0 + 0 = 0 c1 = 0
Portanto, a única solução é c1 = c2 = c3 = c4 = 0, o que mostra que B2 é linearmente independente.

Passo 6

Verificando a Geração em B2
Precisamos mostrar que qualquer polinômio p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de B2.
Vamos tentar expressar p(x) usando B2:
p(x) = d1 cdot 1 + d2 (1 + x) + d3 (1 + x + x^2) + d4 (1 + x + x^2 + x^3)
Expandindo:
d1 + d2(1 + x) + d3(1 + x + x^2) + d4(1 + x + x^2 + x^3) = (d1 + d2 + d3 + d4) + (d2 + d3 + d4)x + (d3 + d4)x^2 + d4 x^3
Igualando aos coeficientes de p(x):
  1. d1 + d2 + d3 + d4 = a0
  2. d2 + d3 + d4 = a1
  3. d3 + d4 = a2
  4. d4 = a3
Resolvendo de baixo para cima:
  1. d4 = a3
  2. d3 + a3 = a2 d3 = a2 - a3
  3. d2 + (a2 - a3) + a3 = a1 d2 + a2 = a1 d2 = a1 - a2
  4. d1 + (a1 - a2) + (a2 - a3) + a3 = a0 d1 + a1 = a0 d1 = a0 - a1
Portanto, podemos sempre encontrar d1, d2, d3, d4 que satisfazem as equações, o que significa que B2 gera P3(k)𝕜.

Passo 7

Conclusão para B2
Como B2 é linearmente independente e gera P3(k)𝕜, concluímos que B2 é uma base de P3(k)𝕜.

Passo 8

Verificando a Linearidade em B3
Agora, vamos analisar B3 = 3, 1 - x, 1 + 2x - x^3, 1 + x + x^2.
Assumimos que existe uma combinação linear que resulta no zero:
c1 cdot 3 + c2 (1 - x) + c3 (1 + 2x - x^3) + c4 (1 + x + x^2) = 0
Expandindo:
3c1 + c2(1 - x) + c3(1 + 2x - x^3) + c4(1 + x + x^2) = 0
Simplificando:
(3c1 + c2 + c3 + c4) + (-c2 + 2c3 + c4)x + c4 x^2 - c3 x^3 = 0
Para que isso seja igual a zero para todo x, os coeficientes devem satisfazer:
  1. 3c1 + c2 + c3 + c4 = 0
  2. -c2 + 2c3 + c4 = 0
  3. c4 = 0
  4. -c3 = 0
Resolvendo de baixo para cima:
  1. -c3 = 0 c3 = 0
  2. c4 = 0
  3. -c2 + 0 + 0 = 0 -c2 = 0 c2 = 0
  4. 3c1 + 0 + 0 + 0 = 0 3c1 = 0 c1 = 0
Portanto, a única solução é c1 = c2 = c3 = c4 = 0, mostrando que B3 é linearmente independente.

Passo 9

Verificando a Geração em B3
Vamos mostrar que qualquer polinômio p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 pode ser escrito como combinação linear dos elementos de B3:
p(x) = e1 cdot 3 + e2 (1 - x) + e3 (1 + 2x - x^3) + e4 (1 + x + x^2)
Expandindo:
3e1 + e2(1 - x) + e3(1 + 2x - x^3) + e4(1 + x + x^2) = (3e1 + e2 + e3 + e4) + (-e2 + 2e3 + e4)x + e4 x^2 - e3 x^3
Igualando aos coeficientes de p(x):
  1. 3e1 + e2 + e3 + e4 = a0
  2. -e2 + 2e3 + e4 = a1
  3. e4 = a2
  4. -e3 = a3
Resolvendo de baixo para cima:
  1. -e3 = a3 e3 = -a3
  2. e4 = a2
  3. -e2 + 2(-a3) + a2 = a1 -e2 - 2a3 + a2 = a1 -e2 = a1 + 2a3 - a2 e2 = -a1 - 2a3 + a2
  4. 3e1 + (-a1 - 2a3 + a2) + (-a3) + a2 = a0
Simplificando:
3e1 -a1 - 2a3 + a2 - a3 + a2 = a0 3e1 = a0 + a1 + 3a3 - 2a2
e1 = a0 + a1 + 3a3 - 2a23
Portanto, podemos sempre encontrar e1, e2, e3, e4 que satisfazem as equações, o que significa que B3 gera P3(k)𝕜.

Passo 10

Conclusão para B3
Como B3 é linearmente independente e gera P3(k)𝕜, concluímos que B3 é uma base de P3(k)𝕜.

Resposta

Todos os conjuntos B1, B2 e B3 são bases do espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3, P3(k)𝕜.

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