Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(j) (x^2+y^2)(x^4-x^2 y^2+y^4)=x^6+y^6;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que está sendo pedido aqui. Temos uma identidade algébrica para verificar:
(x^2+y^2)(x^4-x^2 y^2+y^4) = x^6+y^6
O conteúdo envolvido aqui é a multiplicação de polinômios e a identidade algébrica. Para resolver isso, vamos multiplicar os termos do lado esquerdo e simplificar para ver se obtemos o lado direito.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois polinômios do lado esquerdo:
(x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)
Isso significa que cada termo do primeiro polinômio deve ser multiplicado por cada termo do segundo polinômio.

Passo 3

Vamos multiplicar x^2 cdot x^4 = x^6 pelo primeiro termo do segundo polinômio:
Aqui, usamos a propriedade das potências que diz .

Passo 4

Agora, multiplicamos x^2 cdot (-x^2y^2) = -x^4y^2 pelo segundo termo do segundo polinômio:
Multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes das mesmas variáveis.

Passo 5

Em seguida, multiplicamos x^2 cdot y^4 = x^2y^4 pelo terceiro termo do segundo polinômio:
Aqui, multiplicamos as variáveis mantendo seus expoentes.

Passo 6

Agora, multiplicamos y^2 cdot x^4 = x^4y^2 pelo primeiro termo do segundo polinômio:
Novamente, multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes das mesmas variáveis.

Passo 7

Multiplicamos y^2 cdot (-x^2y^2) = -x^2y^4 pelo segundo termo do segundo polinômio:
Aqui, temos um termo negativo que permanece após a multiplicação.

Passo 8

Por fim, multiplicamos y^2 cdot y^4 = y^6 pelo terceiro termo do segundo polinômio:
Usamos a propriedade das potências para somar os expoentes das mesmas bases.

Passo 9

Agora, somamos todos os termos obtidos:
x^6 - x^4y^2 + x^2y^4 + x^4y^2 - x^2y^4 + y^6
Observamos que alguns termos se cancelam.

Passo 10

Simplificando, vemos que x^6 + y^6 e se cancelam, assim como e :
Assim, chegamos ao resultado do lado direito da identidade.

Resposta

Após a simplificação, confirmamos que:
(x^2+y^2)(x^4-x^2 y^2+y^4) = x^6+y^6
A identidade está verificada.

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