Seja
uma sequência definida pela seguinte recorrência:
(b) Prove que
é crescente;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma sequência
definida de forma recursiva:
O que a gente precisa provar aqui é que essa sequência é crescente, ou seja, cada termo é maior ou igual ao anterior. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e inequações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser crescente. Uma sequência
é crescente se, para todo número natural
, o próximo termo é pelo menos igual ao termo atual. Matemáticamente, isso é:
Para provar isso, vamos usar um método chamado indução matemática, que é como uma passada de dominós: mostramos que o primeiro dominó cai e que, se um dominó cai, o próximo também cai.
Passo 3
Base da Indução:
Vamos começar verificando se a propriedade funciona para
.
Calculando
:
Agora, verificamos se
:
Então, a base da indução está ok!
Passo 4
Passo Indutivo:
Agora, vamos assumir que para um certo
, o termo seguinte é maior ou igual ao termo atual, ou seja:
Nosso objetivo é mostrar que isso implica que:
Usando a definição da sequência:
Queremos provar que:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então, para que a inequação seja verdadeira, precisamos que
. Observando os primeiros termos:
Vemos que os termos estão aumentando e permanecendo abaixo de 1,5. Portanto, nossa suposição de que
é válida para todos os
, garantindo que
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que a sequência
é crescente, ou seja, cada termo é maior ou igual ao anterior.