Seja {xn} uma sequência definida pela seguinte recorrência:
{x1=1 \\ x(n+1)=1/4(2xn+3) para todo n ≥ 1}
(b) Prove que {xn} é crescente;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma sequência definida de forma recursiva:
O que a gente precisa provar aqui é que essa sequência é crescente, ou seja, cada termo é maior ou igual ao anterior. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser crescente. Uma sequência é crescente se, para todo número natural n, o próximo termo é pelo menos igual ao termo atual. Matemáticamente, isso é:
Para provar isso, vamos usar um método chamado indução matemática, que é como uma passada de dominós: mostramos que o primeiro dominó cai e que, se um dominó cai, o próximo também cai.

Passo 3

Base da Indução:
Vamos começar verificando se a propriedade funciona para .
Calculando :
Agora, verificamos se :
Então, a base da indução está ok!

Passo 4

Passo Indutivo:
Agora, vamos assumir que para um certo k ≥ 1, o termo seguinte é maior ou igual ao termo atual, ou seja:
Nosso objetivo é mostrar que isso implica que:
Usando a definição da sequência:
Queremos provar que:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, para que a inequação seja verdadeira, precisamos que . Observando os primeiros termos:
Vemos que os termos estão aumentando e permanecendo abaixo de 1,5. Portanto, nossa suposição de que é válida para todos os k, garantindo que .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que a sequência é crescente, ou seja, cada termo é maior ou igual ao anterior.

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