Seja a curva parametrizada por com . Mostre que esta curva representa um arco de elipse e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.

Passo 1

Então, a gente tem uma curva que é dada por onde varia de a . A questão pede pra gente mostrar que essa curva é na verdade um arco de elipse e também desenhar o gráfico mostrando os pontos de início e fim. Pra resolver isso, a gente vai usar conceitos de parametrização de curvas e as propriedades das elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa parametrização. A função nos dá as coordenadas e da curva em função do parâmetro . Ou seja, para cada valor de , temos um ponto na curva.

Passo 3

Agora, pra mostrar que essa curva é uma elipse, precisamos lembrar a equação geral da elipse centrada na origem: , onde é o semieixo maior e é o semieixo menor.

Passo 4

Vamos fazer uma relação entre as coordenadas parametrizadas e a equação da elipse. Temos:
Vamos elevar ao quadrado ambos os lados de cada equação:
Somando as duas equações e dividindo por 4, temos:
Isso mostra que a curva satisfaz a equação , que é a equação de uma elipse com e .

Passo 5

Agora, vamos identificar os pontos iniciais e finais da curva. Quando :
Então, o ponto inicial é .
Quando :
Então, o ponto final é .

Resposta

A curva parametrizada por com representa um arco de elipse com semieixos e . O gráfico dessa elipse inicia no ponto e termina no ponto .

Exercícios relacionados

Seja a curva parametrizada por . Mostre que esta curva representa um arco de parábola e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.
Seja a curva parametrizada por com . Mostre que esta curva representa um arco de parábola e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.
Seja a curva parametrizada por com . Mostre que esta curva representa um arco de hipérbole e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.
Mostre que a curva parametrizada por com e positivos e com domínio está contida em um cilindro. Quantas voltas em torno do eixo a curva dá no domínio indicado?