Seja
a curva parametrizada por
com
. Mostre que esta curva representa um arco de elipse e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.
Passo 1
Então, a gente tem uma curva que é dada por onde
varia de
a
. A questão pede pra gente mostrar que essa curva é na verdade um arco de elipse e também desenhar o gráfico mostrando os pontos de início e fim. Pra resolver isso, a gente vai usar conceitos de parametrização de curvas e as propriedades das elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa parametrização. A função nos dá as coordenadas
e
da curva em função do parâmetro
. Ou seja, para cada valor de
, temos um ponto
na curva.
Passo 3
Agora, pra mostrar que essa curva é uma elipse, precisamos lembrar a equação geral da elipse centrada na origem:
, onde
é o semieixo maior e
é o semieixo menor.
Passo 4
Vamos fazer uma relação entre as coordenadas parametrizadas e a equação da elipse. Temos:
Vamos elevar ao quadrado ambos os lados de cada equação:
Somando as duas equações e dividindo por 4, temos:
Isso mostra que a curva satisfaz a equação
, que é a equação de uma elipse com
e
.
Passo 5
Agora, vamos identificar os pontos iniciais e finais da curva. Quando
:
Então, o ponto inicial é
.
Quando
:
Então, o ponto final é
.
Resposta
A curva parametrizada por com
representa um arco de elipse com semieixos
e
. O gráfico dessa elipse inicia no ponto
e termina no ponto
.
Exercícios relacionados
Seja
a curva parametrizada por
. Mostre que esta curva representa um arco de parábola e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.
Seja
a curva parametrizada por
com
. Mostre que esta curva representa um arco de parábola e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.
Seja
a curva parametrizada por
com
. Mostre que esta curva representa um arco de hipérbole e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.
Mostre que a curva
parametrizada por
com
e
positivos e com domínio
está contida em um cilindro. Quantas voltas em torno do eixo
a curva dá no domínio indicado?