Seja a curva parametrizada por com . Mostre que esta curva representa um arco de hipérbole e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a curva , parametrizada por com variando de 0 a 1, representa um arco de hipérbole. Além disso, precisamos desenhar o gráfico dessa curva, marcando os pontos inicial e final. Para resolver isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas e as propriedades da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e . Essas são as funções hiperbólicas, que são análogas às funções trigonométricas seno e cosseno, mas para a hipérbole. As definições são:
Essas funções têm propriedades que se relacionam diretamente com a equação padrão da hipérbole.

Passo 3

Agora, vamos eliminar o parâmetro da parametrização para chegar a uma equação relacionando e . Temos:
Sabemos que . Isso é uma identidade fundamental das funções hiperbólicas.

Passo 4

Aplicando essa identidade à nossa parametrização:
Essa é a equação padrão de uma hipérbole com centro na origem, eixo maior no eixo e transversa de comprimento 2.

Passo 5

Como chegamos a , concluímos que a curva realmente representa um arco de hipérbole. Agora, vamos desenhar o gráfico dessa hipérbole para os valores de de 0 a 1.

Passo 6

Para desenhar o gráfico, vamos calcular os pontos iniciais e finais utilizando e :
  • Para : Então, o ponto inicial é .
  • Para : Então, o ponto final é aproximadamente .

Resposta

Então, mostramos que a curva parametrizada por com representa um arco de hipérbole dado pela equação . No gráfico, o ponto inicial é e o ponto final é aproximadamente .

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Mostre que a curva parametrizada por com e positivos e com domínio está contida em um cilindro. Quantas voltas em torno do eixo a curva dá no domínio indicado?
Mostre que a curva parametrizada por com positivo e com domínio com está contida em uma esfera de raio .