Seja
a curva parametrizada por
com
. Mostre que esta curva representa um arco de hipérbole e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a curva
, parametrizada por
com
variando de 0 a 1, representa um arco de hipérbole. Além disso, precisamos desenhar o gráfico dessa curva, marcando os pontos inicial e final. Para resolver isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas e as propriedades da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
. Essas são as funções hiperbólicas, que são análogas às funções trigonométricas seno e cosseno, mas para a hipérbole. As definições são:
Essas funções têm propriedades que se relacionam diretamente com a equação padrão da hipérbole.
Passo 3
Agora, vamos eliminar o parâmetro
da parametrização para chegar a uma equação relacionando
e
. Temos:
Sabemos que
. Isso é uma identidade fundamental das funções hiperbólicas.
Passo 4
Aplicando essa identidade à nossa parametrização:
Essa é a equação padrão de uma hipérbole com centro na origem, eixo maior no eixo
e transversa de comprimento 2.
Passo 5
Como chegamos a
, concluímos que a curva
realmente representa um arco de hipérbole. Agora, vamos desenhar o gráfico dessa hipérbole para os valores de
de 0 a 1.
Passo 6
Para desenhar o gráfico, vamos calcular os pontos iniciais e finais utilizando
e
:
- Para
: Então, o ponto inicial é . - Para
: Então, o ponto final é aproximadamente .
Resposta
Então, mostramos que a curva
parametrizada por
com
representa um arco de hipérbole dado pela equação
. No gráfico, o ponto inicial é
e o ponto final é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Seja
a curva parametrizada por
com
. Mostre que esta curva representa um arco de elipse e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.
Seja
a curva parametrizada por
. Mostre que esta curva representa um arco de parábola e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.
Mostre que a curva
parametrizada por
com
e
positivos e com domínio
está contida em um cilindro. Quantas voltas em torno do eixo
a curva dá no domínio indicado?
Mostre que a curva
parametrizada por
com
positivo e com domínio com
está contida em uma esfera de raio
.