Seja alpha: R -> R^3 uma curva, definida por alpha(t) = (t, t^2, t^3), t em R.
Esboce o traço da curva M.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva no espaço tridimensional definida pela função , onde t é qualquer número real. Nosso objetivo aqui é esboçar o traço dessa curva M. Para isso, vamos precisar entender como as coordenadas x, y e z se relacionam enquanto t varia.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para cada componente da função alpha(t). Temos:
Agora, queremos eliminar o parâmetro t para encontrar uma relação direta entre x, y e z. Como , podemos substituir t por x nas outras equações.

Passo 3

Substituindo t por x na equação de y, ficamos com:
E na equação de z, temos:
Agora temos duas equações que relacionam x, y e z diretamente, sem o parâmetro t.

Passo 4

Com essas equações, podemos descrever a curva M no espaço. A equação representa uma parábola no plano xy, enquanto adiciona uma dimensão extra, tornando a curva tridimensional. Essa combinação cria uma curva conhecida como “cúbica torcida” ou “twisted cubic” em inglês.

Passo 5

A cúbica torcida é uma curva que não está contida em nenhum plano específico no espaço tridimensional. Ela se estende indefinidamente em todas as direções conforme t varia, criando uma forma helicoidal sem girar em torno de um eixo fixo.

Resposta

O traço da curva M definida por é uma cúbica torcida no espaço tridimensional, que não está restrita a nenhum plano e se estende indefinidamente formando uma trajetória helicoidal.

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