Seja uma curva, definida por .
Esboce o traço da curva .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva no espaço tridimensional definida pela função , onde é qualquer número real. Nosso objetivo aqui é esboçar o traço dessa curva . Para isso, vamos precisar entender como as coordenadas , e se relacionam enquanto varia.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para cada componente da função . Temos:
Agora, queremos eliminar o parâmetro para encontrar uma relação direta entre , e . Como , podemos substituir por nas outras equações.

Passo 3

Substituindo por na equação de , ficamos com:
E na equação de , temos:
Agora temos duas equações que relacionam , e diretamente, sem o parâmetro .

Passo 4

Com essas equações, podemos descrever a curva no espaço. A equação representa uma parábola no plano , enquanto adiciona uma dimensão extra, tornando a curva tridimensional. Essa combinação cria uma curva conhecida como “cúbica torcida” ou “twisted cubic” em inglês.

Passo 5

A cúbica torcida é uma curva que não está contida em nenhum plano específico no espaço tridimensional. Ela se estende indefinidamente em todas as direções conforme varia, criando uma forma helicoidal sem girar em torno de um eixo fixo.

Resposta

O traço da curva definida por é uma cúbica torcida no espaço tridimensional, que não está restrita a nenhum plano e se estende indefinidamente formando uma trajetória helicoidal.

Exercícios relacionados

Seja uma curva, definida por
Calcule a curvatura de em .
Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;
Uma partícula de massa se move sobre uma superfície . Sejam e as coordenadas da partícula no instante .
Sejam e sen . Determine o vetor velocidade , a energia cinética e o vetor aceleração .
Mostre que a curva com equação vetorial
encontra-se em um plano. Além disso, encontre uma equação desse plano.