Seja
uma curva, definida por
.
Esboce o traço da curva
.
Esboce o traço da curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva no espaço tridimensional definida pela função
, onde
é qualquer número real. Nosso objetivo aqui é esboçar o traço dessa curva
. Para isso, vamos precisar entender como as coordenadas
,
e
se relacionam enquanto
varia.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para cada componente da função
. Temos:
Agora, queremos eliminar o parâmetro
para encontrar uma relação direta entre
,
e
. Como
, podemos substituir
por
nas outras equações.
Passo 3
Substituindo
por
na equação de
, ficamos com:
E na equação de
, temos:
Agora temos duas equações que relacionam
,
e
diretamente, sem o parâmetro
.
Passo 4
Com essas equações, podemos descrever a curva
no espaço. A equação
representa uma parábola no plano
, enquanto
adiciona uma dimensão extra, tornando a curva tridimensional. Essa combinação cria uma curva conhecida como “cúbica torcida” ou “twisted cubic” em inglês.
Passo 5
A cúbica torcida é uma curva que não está contida em nenhum plano específico no espaço tridimensional. Ela se estende indefinidamente em todas as direções conforme
varia, criando uma forma helicoidal sem girar em torno de um eixo fixo.
Resposta
O traço da curva
definida por
é uma cúbica torcida no espaço tridimensional, que não está restrita a nenhum plano e se estende indefinidamente formando uma trajetória helicoidal.
Exercícios relacionados
Seja
uma curva, definida por
Calcule a curvatura de
em
.
Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;
Uma partícula de massa
se move sobre uma superfície
. Sejam
e
as coordenadas da partícula no instante
.
Sejam e
sen
. Determine o vetor velocidade
, a energia cinética
e o vetor aceleração
.
Sejam
Mostre que a curva com equação vetorial
encontra-se em um plano. Além disso, encontre uma equação desse plano.