Usando a regra de L(a)
.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
usando a regra de L’Hôpital. A matéria que vamos usar aqui é cálculo de limites, e especificamente a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos formas indeterminadas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
Isso é uma forma indeterminada, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Passo 3
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Então, o limite fica:
Passo 4
Ainda temos uma forma indeterminada
quando substituímos
na nova expressão. Vamos aplicar a regra de L’Hôpital novamente.
Passo 5
Derivando novamente:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Agora, o limite fica:
Passo 6
Substituindo
:
Passo 7
Agora vamos resolver o limite
usando também a regra de L’Hôpital. Aqui estamos lidando com uma função exponencial e precisamos calcular o limite de uma fração que, quando substituímos
, dá
, uma forma indeterminada.
Passo 8
Primeiro, verificamos o valor ao substituir
:
Como é uma forma indeterminada, aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador.
Passo 9
Derivando o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
O limite fica então:
Passo 10
Substituindo
de novo:
Ainda temos uma forma indeterminada, então aplicamos a regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 11
Derivando novamente:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
O limite agora é:
Passo 12
Substituindo
:
Ainda está indefinido, então aplicamos a regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 13
Derivando mais uma vez:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Agora, o limite fica:
Passo 14
Substituindo
:
Resposta
Exercícios relacionados
Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Mostre que a curva
definida por
, se
e
não é regular.