Usando a regra de L(a) lim x 0 1-cos xx^2.
(b) lim x 0 e^x-1-x-12 x^2x^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite usando a regra de L’Hôpital. A matéria que vamos usar aqui é cálculo de limites, e especificamente a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 1 - cos(0)0^2 = 1 - 10 = 00 diretamente na expressão:
Isso é uma forma indeterminada, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador: lim x 0 sin x2x
  • Derivada do denominador:
Então, o limite fica:

Passo 4

Ainda temos uma forma indeterminada quando substituímos na nova expressão. Vamos aplicar a regra de L’Hôpital novamente.

Passo 5

Derivando novamente:
  • Derivada do numerador: lim x 0 cos x2
  • Derivada do denominador:
Agora, o limite fica:

Passo 6

Substituindo cos(0)2 = 12 :

Passo 7

Agora vamos resolver o limite usando também a regra de L’Hôpital. Aqui estamos lidando com uma função exponencial e precisamos calcular o limite de uma fração que, quando substituímos , dá , uma forma indeterminada.

Passo 8

Primeiro, verificamos o valor ao substituir e^0 - 1 - 0 - 12 cdot 0^20^3 = 1 - 10 = 00 :
Como é uma forma indeterminada, aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador.

Passo 9

Derivando o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador: lim x 0 e^x - 1 - x3x^2
  • Derivada do denominador:
O limite fica então:

Passo 10

Substituindo e^0 - 1 - 03 cdot 0^2 = 1 - 10 = 00 de novo:
Ainda temos uma forma indeterminada, então aplicamos a regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 11

Derivando novamente:
  • Derivada do numerador: lim x 0 e^x - 16x
  • Derivada do denominador:
O limite agora é:

Passo 12

Substituindo e^0 - 16 cdot 0 = 1 - 10 = 00 :
Ainda está indefinido, então aplicamos a regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 13

Derivando mais uma vez:
  • Derivada do numerador: lim x 0 e^x6
  • Derivada do denominador:
Agora, o limite fica:

Passo 14

Substituindo e^06 = 16 :

Resposta

lim x 0 e^x-1-x-12 x^2x^3 = 16

Exercícios relacionados