Mostre que
Passo 1
Vamos analisar o limite dado:
. Este exercício envolve cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites quando a função depende de mais de uma variável e como usar propriedades do limite para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando
, o que nos dá uma indeterminação do tipo
. Para resolver isso, podemos tentar simplificar a expressão.
Passo 3
Notamos que a expressão
pode ser fatorada como
. Assim, podemos reescrever o numerador:
Passo 4
Usamos a identidade
quando
está próximo de zero. Portanto, para valores pequenos de
e
:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão do limite, temos:
Passo 6
Simplificamos a fração cancelando
:
Resposta
2