Mostre que

Passo 1

Vamos analisar o limite dado: . Este exercício envolve cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites quando a função depende de mais de uma variável e como usar propriedades do limite para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando , o que nos dá uma indeterminação do tipo . Para resolver isso, podemos tentar simplificar a expressão.

Passo 3

Notamos que a expressão pode ser fatorada como . Assim, podemos reescrever o numerador:

Passo 4

Usamos a identidade quando está próximo de zero. Portanto, para valores pequenos de e :

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão do limite, temos:

Passo 6

Simplificamos a fração cancelando :

Resposta

2

Exercícios relacionados

Derive
Nos seguintes problemas, calcule o limite de quando tende a , ao longo de cada um dos caminhos indicados

ao longo do eixo
ao longo da curva
Derive
No conjunto parcialmente ordenado , encontre todas as cotas inferiores do conjunto ;