Mostre que
d) lim (x, y) (0,0) sen(2 x+6 y)x+3 y=2

Passo 1

Vamos analisar o limite dado: . Este exercício envolve cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites quando a função depende de mais de uma variável e como usar propriedades do limite para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando , o que nos dá uma indeterminação do tipo . Para resolver isso, podemos tentar simplificar a expressão.

Passo 3

Notamos que a expressão sin(2x + 6y) = sin(2(x + 3y)) pode ser fatorada como . Assim, podemos reescrever o numerador:

Passo 4

Usamos a identidade sin(2(x + 3y)) approx 2(x + 3y) quando está próximo de zero. Portanto, para valores pequenos de e :

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão do limite, temos:
lim (x, y) (0,0) 2(x + 3y)x + 3y

Passo 6

Simplificamos a fração cancelando lim (x, y) (0,0) 2 = 2 :

Resposta

2

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