Nos seguintes problemas, calcule o limite de quando tende a , ao longo de cada um dos caminhos indicados

ao longo do eixo
ao longo da curva

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limites de funções de duas variáveis. A gente precisa calcular o limite de quando se aproxima de ao longo de dois caminhos diferentes:
  1. Ao longo do eixo .
  2. Ao longo da curva .
Para isso, vamos substituir os valores de conforme cada caminho e simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Parte (i): Limitando ao longo do eixo .
Quando a gente fala de seguir o eixo , significa que . Então, vamos substituir por 0 na função.
A função fica:
Agora, vamos calcular o limite de quando tende a 0:

Passo 3

Parte (ii): Limitando ao longo da curva .
Aqui, vamos substituir por na função.
A função fica:
Vamos simplificar o numerador e o denominador passo a passo.
Primeiro, calculando o denominador:
Agora, o numerador:
Portanto:
Como está tendendo a 0, os termos de ordem superior ( etc.) vão se tornar insignificantes comparados a . Então, podemos aproximar o numerador por .
Assim, a função simplifica para:
Agora, vamos calcular o limite:

Resposta

(i) O limite ao longo do eixo é 0.
(ii) O limite ao longo da curva é 1.

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