Nos seguintes problemas, calcule o limite de
quando
tende a
, ao longo de cada um dos caminhos indicados
ao longo do eixo
ao longo da curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limites de funções de duas variáveis. A gente precisa calcular o limite de
quando
se aproxima de
ao longo de dois caminhos diferentes:
- Ao longo do eixo
. - Ao longo da curva
.
Para isso, vamos substituir os valores de
conforme cada caminho e simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 2
Parte (i): Limitando ao longo do eixo
.
Quando a gente fala de seguir o eixo
, significa que
. Então, vamos substituir
por 0 na função.
A função fica:
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende a 0:
Passo 3
Parte (ii): Limitando ao longo da curva
.
Aqui, vamos substituir
por
na função.
A função fica:
Vamos simplificar o numerador e o denominador passo a passo.
Primeiro, calculando o denominador:
Agora, o numerador:
Portanto:
Como
está tendendo a 0, os termos de ordem superior (
etc.) vão se tornar insignificantes comparados a
. Então, podemos aproximar o numerador por
.
Assim, a função simplifica para:
Agora, vamos calcular o limite:
Resposta
(i) O limite ao longo do eixo
é 0.
(ii) O limite ao longo da curva é 1.
(ii) O limite ao longo da curva
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