Mostre que dada uma função do segundo grau
f(x) = a x^2 + b x + c, a ≠ 0
e um ponto P = (x0, f(x0)) do gráfico de f(x), a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto P é dada por
y = m x + q
onde
m = 2 * a * x0 + b e q = f(x0) - m * x0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de uma função do segundo grau no ponto . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, mais especificamente com derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a função dada:
E o ponto de tangência:

Passo 3

Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos determinar a inclinação desta reta no ponto . Isso é feito calculando a derivada de em relação a , que nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto .
A derivada de é:

Passo 4

Agora, substituímos na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a forma da equação da reta:
Para encontrar , substituímos as coordenadas de na equação:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:
onde

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