Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Abaixo do paraboloide acima do plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está abaixo de um paraboloide dado pela equação e acima do plano (que é basicamente onde ). Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando lidamos com superfícies simétricas como essa. Vamos precisar entender como converter equações para coordenadas polares e configurar uma integral dupla para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação do paraboloide para coordenadas polares. Sabemos que:
Substituindo na equação do paraboloide:
Simplificando:
Pois .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os limites de integração. O sólido está acima do plano , onde . Então, vamos encontrar o valor de quando :
Então, varia de 0 a 3. Como o sólido é circularmente simétrico, vai de a .

Passo 4

O próximo passo é configurar a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de área é . O volume será:
Aqui, é a altura do parabolóide acima do plano, multiplicado por para o elemento de área.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Racionalize o denominador das expressões seguintes:
Mostre que dada uma função do segundo grau
e um ponto do gráfico de , a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é dada por
onde
Calcule os limites abaixo:
Calcule os limites abaixo: