Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Abaixo do paraboloide
acima do plano
.
Abaixo do paraboloide
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está abaixo de um paraboloide dado pela equação
e acima do plano
(que é basicamente onde
). Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando lidamos com superfícies simétricas como essa. Vamos precisar entender como converter equações para coordenadas polares e configurar uma integral dupla para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação do paraboloide para coordenadas polares. Sabemos que:
Substituindo na equação do paraboloide:
Simplificando:
Pois
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os limites de integração. O sólido está acima do plano
, onde
. Então, vamos encontrar o valor de
quando
:
Então,
varia de 0 a 3. Como o sólido é circularmente simétrico,
vai de
a
.
Passo 4
O próximo passo é configurar a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de área é
. O volume
será:
Aqui,
é a altura do parabolóide acima do plano, multiplicado por
para o elemento de área.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Racionalize o denominador das expressões seguintes:
Mostre que dada uma função do segundo grau
e um ponto
do gráfico de
, a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é dada por
onde
Calcule os limites abaixo:
Calcule os limites abaixo: