Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial ordinária que é a seguinte:
Estamos lidando com equações diferenciais exatas aqui. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrador que a torne exata. Vamos seguir esses passos juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:
Uma equação diferencial na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando :
Como não depende de , temos:
Calculando :
A derivada de em relação a é apenas a derivada de , já que o segundo termo não tem :
Como (0 ≠ ), a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrador que multiplica a equação e a torna exata. Frequentemente, tentamos fatores que dependem apenas de ou apenas de .
Vamos supor que o fator integrador dependa apenas de . Multiplicando a equação original por , temos:
Para que a equação seja exata, precisamos que:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos dá uma equação para .

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para :
Isso é uma equação diferencial linear simples. Podemos reescrever como:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 6

Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrador :
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 7

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Igualando:
Então:
Integrando:
Portanto, a função é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.


Mostre, pela definição, que:
b) .
Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.
Seja o ponto da curva , que esta mais próximo da origem. Podemos afirmar que o produto vale:
(Até 4 pontos)
a)
b) 2
c)
d) 4
e)