Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial ordinária que é a seguinte:
Estamos lidando com equações diferenciais exatas aqui. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrador que a torne exata. Vamos seguir esses passos juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando
:
Como não depende de
, temos:
Como
Calculando
:
A derivada de
em relação a
é apenas a derivada de
, já que o segundo termo não tem
:
Como
(0 ≠
), a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrador que multiplica a equação e a torna exata. Frequentemente, tentamos fatores que dependem apenas de
ou apenas de
.
Vamos supor que o fator integrador
dependa apenas de
. Multiplicando a equação original por
, temos:
Para que a equação seja exata, precisamos que:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso nos dá uma equação para
.
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para
:
Isso é uma equação diferencial linear simples. Podemos reescrever como:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 6
Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrador
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 7
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando:
Então:
Integrando:
Portanto, a função
é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.
Mostre, pela definição, que:
b) .
b)
Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.
Seja
o ponto da curva
, que esta mais próximo da origem. Podemos afirmar que o produto
vale:
(Até 4 pontos)
a)
b) 2
c)
d) 4
e)
(Até 4 pontos)
a)
b) 2
c)
d) 4
e)