Mostre que De, para uma compressão ou expansão reversivel adiabática, em um gás ideal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em uma compressão ou expansão adiabática reversível de um gás ideal, a variação de temperatura De é dada por De. Vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre processos adiabáticos em gases ideais, e aplicar as fórmulas relacionadas para chegar nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um processo adiabático. É aquele onde não há troca de calor com o ambiente, ou seja, Q = 0. Para um gás ideal em um processo adiabático reversível, temos a relação:
P V^c = constante
onde P é a pressão, V o volume, e c é a capacidade calorífica específica do gás.

Passo 3

Também sabemos que para gases ideais, a equação de estado é:
P V = R T
onde R é a constante dos gases e T a temperatura.

Passo 4

A partir das duas equações acima, podemos relacionar as temperaturas inicial ( Ti) e final ( Tf) com os volumes inicial ( Vi) e final ( Vf). Dividindo as equações de estado inicial e final, temos:
Pi ViTi = Pf VfTf

Passo 5

Com a relação adiabática P V^c = constante, podemos escrever:
Pi Vi^c = Pf Vf^c
Dividindo as duas equações, temos:
PiPf cdot Vi^cVf^c = TiTf

Passo 6

Isolando TfTi, fica:
TfTi = ViVf ( ViVf )^c-1 = ( ViVf )^c

Passo 7

Agora, a variação de temperatura De é:
De
Substituindo Tf pela expressão que achamos:
De

Resposta

Assim, mostramos que:
De

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