Mostre que
, para uma compressão ou expansão reversivel adiabática, em um gás ideal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em uma compressão ou expansão adiabática reversível de um gás ideal, a variação de temperatura
é dada por
. Vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre processos adiabáticos em gases ideais, e aplicar as fórmulas relacionadas para chegar nessa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um processo adiabático. É aquele onde não há troca de calor com o ambiente, ou seja,
. Para um gás ideal em um processo adiabático reversível, temos a relação:
onde
é a pressão,
o volume, e
é a capacidade calorífica específica do gás.
Passo 3
Também sabemos que para gases ideais, a equação de estado é:
onde
é a constante dos gases e
a temperatura.
Passo 4
A partir das duas equações acima, podemos relacionar as temperaturas inicial (
) e final (
) com os volumes inicial (
) e final (
). Dividindo as equações de estado inicial e final, temos:
Passo 5
Com a relação adiabática
, podemos escrever:
Dividindo as duas equações, temos:
Passo 6
Isolando
, fica:
Passo 7
Agora, a variação de temperatura
é:
Substituindo
pela expressão que achamos:
Resposta
Assim, mostramos que: