Mostre que a distância entre os dois pontos
em um diagrama de Argand é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a distância entre dois pontos
e
no diagrama de Argand é igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos e geometria no plano complexo, também conhecido como diagrama de Argand. Precisaremos entender como representar números complexos no plano e como calcular a distância entre dois pontos nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo
pode ser escrito na forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. No diagrama de Argand, isso significa que
é a coordenada no eixo X e
é a coordenada no eixo Y.
Passo 3
Vamos representar os dois números complexos
e
dessa forma:
Aqui,
e
são as coordenadas de
, e
e
são as coordenadas de
no diagrama.
Passo 4
A distância entre dois pontos no plano é dada pela fórmula da distância euclidiana:
Nosso objetivo é mostrar que essa distância é igual a
.
Passo 5
Vamos calcular
:
Passo 6
A magnitude (ou módulo) de um número complexo
é dada por:
Aplicando isso a
:
Passo 7
Observamos que a expressão que obtivemos para
é exatamente a mesma da fórmula da distância
. Portanto, concluímos que:
Resposta
A distância entre os pontos
e
no diagrama de Argand é
.