Mostre que a distância entre os dois pontos em um diagrama de Argand é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a distância entre dois pontos e no diagrama de Argand é igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos e geometria no plano complexo, também conhecido como diagrama de Argand. Precisaremos entender como representar números complexos no plano e como calcular a distância entre dois pontos nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito na forma , onde é a parte real e é a parte imaginária. No diagrama de Argand, isso significa que é a coordenada no eixo X e é a coordenada no eixo Y.

Passo 3

Vamos representar os dois números complexos e dessa forma:
Aqui, e são as coordenadas de , e e são as coordenadas de no diagrama.

Passo 4

A distância entre dois pontos no plano é dada pela fórmula da distância euclidiana:
Nosso objetivo é mostrar que essa distância é igual a .

Passo 5

Vamos calcular :

Passo 6

A magnitude (ou módulo) de um número complexo é dada por:
Aplicando isso a :

Passo 7

Observamos que a expressão que obtivemos para é exatamente a mesma da fórmula da distância . Portanto, concluímos que:

Resposta

A distância entre os pontos e no diagrama de Argand é .

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