Mostre que a distância entre os dois pontos em um diagrama de Argand é .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a distância entre dois pontos e no diagrama de Argand é igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos e geometria no plano complexo, também conhecido como diagrama de Argand. Precisaremos entender como representar números complexos no plano e como calcular a distância entre dois pontos nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito na forma , onde é a parte real e é a parte imaginária. No diagrama de Argand, isso significa que é a coordenada no eixo X e é a coordenada no eixo Y.
Passo 3
Vamos representar os dois números complexos e dessa forma:
Aqui, e são as coordenadas de , e e são as coordenadas de no diagrama.
Passo 4
A distância entre dois pontos no plano é dada pela fórmula da distância euclidiana:
Nosso objetivo é mostrar que essa distância é igual a .
Passo 5
Vamos calcular :
Passo 6
A magnitude (ou módulo) de um número complexo é dada por:
Aplicando isso a :
Passo 7
Observamos que a expressão que obtivemos para é exatamente a mesma da fórmula da distância . Portanto, concluímos que:
Resposta
A distância entre os pontos e no diagrama de Argand é .