Sejam
e
vetores não nulos. Explicitar o valor de
na igualdade
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores não nulos, chamados
e
. A questão pede para a gente descobrir o valor de
que satisfaz a igualdade
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre multiplicação de vetores por escalares e como relacionar vetores que são múltiplos um do outro.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa multiplicar um vetor por um número (escalar). Quando a gente faz
, estamos esticando ou encurtando o vetor
pelo fator
. Se
for positivo, o vetor continua apontando na mesma direção; se for negativo, ele inverte a direção.
Passo 3
Agora, para que
seja verdadeiro, o vetor resultante
precisa ter a mesma direção e sentido que
. Isso só acontece se
for um múltiplo de
, ou seja, se os dois vetores forem colineares.
Passo 4
Vamos supor que
e
são vetores no espaço bidimensional para facilitar. Digamos que
e
. A igualdade
significa que:
Passo 5
A partir dessas equações, podemos resolver para
isolando-o:
Para que exista um único valor de
, as duas frações devem ser iguais, ou seja:
Isso confirma que
e
são colineares.
Passo 6
Para um caso geral em qualquer dimensão, podemos usar o produto escalar para encontrar
. O produto escalar entre
e
é dado por:
E o quadrado da norma de
é:
Passo 7
Com esses valores, podemos expressar
como:
Isso garante que estamos encontrando o escalar que, quando multiplicado por
, nos dá
.
Resposta
O valor de
é: