Sejam u e v vetores não nulos. Explicitar o valor de x na igualdade x v = u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores não nulos, chamados u e v. A questão pede para a gente descobrir o valor de x que satisfaz a igualdade . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre multiplicação de vetores por escalares e como relacionar vetores que são múltiplos um do outro.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa multiplicar um vetor por um número (escalar). Quando a gente faz , estamos esticando ou encurtando o vetor v pelo fator x. Se x for positivo, o vetor continua apontando na mesma direção; se for negativo, ele inverte a direção.

Passo 3

Agora, para que seja verdadeiro, o vetor resultante precisa ter a mesma direção e sentido que u. Isso só acontece se u for um múltiplo de v, ou seja, se os dois vetores forem colineares.

Passo 4

Vamos supor que u e v são vetores no espaço bidimensional para facilitar. Digamos que e . A igualdade significa que:

Passo 5

A partir dessas equações, podemos resolver para x isolando-o:
Para que exista um único valor de x, as duas frações devem ser iguais, ou seja:
Isso confirma que u e v são colineares.

Passo 6

Para um caso geral em qualquer dimensão, podemos usar o produto escalar para encontrar x. O produto escalar entre u e v é dado por:
E o quadrado da norma de v é:

Passo 7

Com esses valores, podemos expressar x como:
Isso garante que estamos encontrando o escalar que, quando multiplicado por v, nos dá u.

Resposta

O valor de x é:

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