Sejam e vetores não nulos. Explicitar o valor de na igualdade .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores não nulos, chamados e . A questão pede para a gente descobrir o valor de que satisfaz a igualdade . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre multiplicação de vetores por escalares e como relacionar vetores que são múltiplos um do outro.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa multiplicar um vetor por um número (escalar). Quando a gente faz , estamos esticando ou encurtando o vetor pelo fator . Se for positivo, o vetor continua apontando na mesma direção; se for negativo, ele inverte a direção.
Passo 3
Agora, para que seja verdadeiro, o vetor resultante precisa ter a mesma direção e sentido que . Isso só acontece se for um múltiplo de , ou seja, se os dois vetores forem colineares.
Passo 4
Vamos supor que e são vetores no espaço bidimensional para facilitar. Digamos que e . A igualdade significa que:
Passo 5
A partir dessas equações, podemos resolver para isolando-o:
Para que exista um único valor de , as duas frações devem ser iguais, ou seja:
Isso confirma que e são colineares.
Passo 6
Para um caso geral em qualquer dimensão, podemos usar o produto escalar para encontrar . O produto escalar entre e é dado por:
E o quadrado da norma de é:
Passo 7
Com esses valores, podemos expressar como:
Isso garante que estamos encontrando o escalar que, quando multiplicado por , nos dá .