Mostre que para uma distância muito maior que a separação entre as cargas, o campo do dipolo é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, quando a distância é muito maior que a separação entre duas cargas, o campo elétrico do dipolo é dado por . Aqui, estamos falando de eletrostática, especificamente sobre o campo de um dipolo elétrico. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo gerado por cargas elétricas e como simplificar a expressão quando a distância é muito maior que a separação das cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um dipolo elétrico é composto por duas cargas de mesmo valor absoluto, mas sinais opostos, separadas por uma distância . Vamos chamar essas cargas de e . Imaginemos que o dipolo está alinhado ao longo do eixo , e queremos encontrar o campo elétrico a uma distância distante desse dipolo.

Passo 3

O campo elétrico criado por uma carga pontual a uma distância é dado pela Lei de Coulomb:
Aqui, é a permissividade do vácuo.

Passo 4

No caso do dipolo, temos duas cargas: e . Vamos calcular o campo elétrico total resultante dessas duas cargas na posição a uma distância do centro do dipolo. A separação entre as cargas é , então as distâncias das cargas até o ponto onde estamos calculando o campo serão aproximadamente e .

Passo 5

Como é muito maior que ( ), podemos aproximar as distâncias:
Essa aproximação simplifica os cálculos.

Passo 6

Agora, vamos calcular o campo elétrico devido à carga :
E o campo devido à carga :

Passo 7

O campo total do dipolo é a soma dos campos individuais:

Passo 8

Simplificando a expressão:

Resposta

Portanto, mostramos que para uma distância muito maior que a separação entre as cargas, o campo elétrico do dipolo é:

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