Mostre que para uma distância z muito maior que a separação entre as cargas, o campo do dipolo é E Dipolo =14 pi varepsilon0 2 q Sz^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, quando a distância z é muito maior que a separação entre duas cargas, o campo elétrico do dipolo é dado por EDipolo = 14 pi varepsilon0 2 q Sz^3. Aqui, estamos falando de eletrostática, especificamente sobre o campo de um dipolo elétrico. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo gerado por cargas elétricas e como simplificar a expressão quando a distância é muito maior que a separação das cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um dipolo elétrico é composto por duas cargas de mesmo valor absoluto, mas sinais opostos, separadas por uma distância S. Vamos chamar essas cargas de +q e -q. Imaginemos que o dipolo está alinhado ao longo do eixo z, e queremos encontrar o campo elétrico a uma distância z distante desse dipolo.

Passo 3

O campo elétrico criado por uma carga pontual q a uma distância r é dado pela Lei de Coulomb:
E = 14 pi varepsilon0 qr^2
Aqui, varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 4

No caso do dipolo, temos duas cargas: +q e -q. Vamos calcular o campo elétrico total resultante dessas duas cargas na posição a uma distância z do centro do dipolo. A separação entre as cargas é S, então as distâncias das cargas até o ponto onde estamos calculando o campo serão aproximadamente z - S2 e z + S2.

Passo 5

Como z é muito maior que S ( z gg S), podemos aproximar as distâncias:
1(z - S2)^2 approx 1z^2 (1 + Sz)
1(z + S2)^2 approx 1z^2 (1 - Sz)
Essa aproximação simplifica os cálculos.

Passo 6

Agora, vamos calcular o campo elétrico devido à carga +q:
E+ = 14 pi varepsilon0 q(z - S2)^2 approx 14 pi varepsilon0 qz^2 (1 + Sz)
E o campo devido à carga -q:
E- = 14 pi varepsilon0 -q(z + S2)^2 approx 14 pi varepsilon0 -qz^2 (1 - Sz)

Passo 7

O campo total do dipolo é a soma dos campos individuais:
EDipolo = E+ + E- approx 14 pi varepsilon0 qz^2 (1 + Sz) + 14 pi varepsilon0 -qz^2 (1 - Sz)

Passo 8

Simplificando a expressão:
EDipolo approx 14 pi varepsilon0 qz^2 (1 + Sz - 1 + Sz) = 14 pi varepsilon0 2 q Sz^3

Resposta

Portanto, mostramos que para uma distância z muito maior que a separação S entre as cargas, o campo elétrico do dipolo é:
EDipolo = 14 pi varepsilon0 2 q Sz^3

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