Em termos da densidade linear de cargas lambda e de r, qual é o campo elétrico produzido pela barra no ponto P ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma barra eletricamente carregada com densidade linear de carga lambda, e queremos encontrar o campo elétrico que essa barra gera em um ponto P localizado a uma distância r dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e o princípio de superposição para somar os campos elétricos de cada parte da barra.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a barra como sendo composta por muitos pedacinhos pequenos de carga. Cada pedacinho de carga dq vai contribuir com um campo elétrico dE no ponto P. A ideia é calcular o campo elétrico de cada dq e depois somar todos esses campos para encontrar o campo total E.

Passo 3

A densidade linear de carga lambda nos ajuda a relacionar a carga dq com um pequeno comprimento dx da barra. Essa relação é dada por:
dq = lambda , dx
Isso significa que a carga em um segmento infinitesimal dx da barra é igual a lambda multiplicado por dx.

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei de Coulomb para encontrar o campo elétrico dE causado por esse pequeno elemento de carga dq no ponto P:
dE = 14pivarepsilon0 dqr^2
Aqui, r é a distância entre o elemento de carga dq e o ponto P, e varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 5

Substituindo dq pela expressão que encontramos no Passo 3:
dE = 14pivarepsilon0 lambda , dxr^2
Isso simplifica o cálculo, pois agora temos dE em termos de dx e r.

Passo 6

Para encontrar o campo total E, precisamos integrar dE ao longo de toda a extensão da barra. Se a barra tem comprimento L, a integral fica:
E = integral dE = lambda4pivarepsilon0 r^2 integral-L/2^L/2 dx
Essa integração soma todos os campos elétricos produzidos por cada segmento dx da barra.

Passo 7

Calculando a integral:
E = lambda4pivarepsilon0 r^2 [ x ]-L/2^L/2 = lambda4pivarepsilon0 r^2 ( L2 - (-L2) ) = lambda L4pivarepsilon0 r^2
Isso nos dá o campo elétrico total no ponto P.

Resposta

O campo elétrico produzido pela barra no ponto P é:
E = lambda L4pivarepsilon0 r^2

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