Em termos da densidade linear de cargas
e de
, qual é o campo elétrico produzido pela barra no ponto
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma barra eletricamente carregada com densidade linear de carga
, e queremos encontrar o campo elétrico que essa barra gera em um ponto
localizado a uma distância
dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e o princípio de superposição para somar os campos elétricos de cada parte da barra.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a barra como sendo composta por muitos pedacinhos pequenos de carga. Cada pedacinho de carga
vai contribuir com um campo elétrico
no ponto
. A ideia é calcular o campo elétrico de cada
e depois somar todos esses campos para encontrar o campo total
.
Passo 3
A densidade linear de carga
nos ajuda a relacionar a carga
com um pequeno comprimento
da barra. Essa relação é dada por:
Isso significa que a carga em um segmento infinitesimal
da barra é igual a
multiplicado por
.
Passo 4
Agora, aplicamos a Lei de Coulomb para encontrar o campo elétrico
causado por esse pequeno elemento de carga
no ponto
:
Aqui,
é a distância entre o elemento de carga
e o ponto
, e
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 5
Substituindo
pela expressão que encontramos no Passo 3:
Isso simplifica o cálculo, pois agora temos
em termos de
e
.
Passo 6
Para encontrar o campo total
, precisamos integrar
ao longo de toda a extensão da barra. Se a barra tem comprimento
, a integral fica:
Essa integração soma todos os campos elétricos produzidos por cada segmento
da barra.
Passo 7
Calculando a integral:
Isso nos dá o campo elétrico total no ponto
.
Resposta
O campo elétrico produzido pela barra no ponto
é: