Em termos da densidade linear de cargas e de , qual é o campo elétrico produzido pela barra no ponto ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma barra eletricamente carregada com densidade linear de carga , e queremos encontrar o campo elétrico que essa barra gera em um ponto localizado a uma distância dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e o princípio de superposição para somar os campos elétricos de cada parte da barra.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a barra como sendo composta por muitos pedacinhos pequenos de carga. Cada pedacinho de carga vai contribuir com um campo elétrico no ponto . A ideia é calcular o campo elétrico de cada e depois somar todos esses campos para encontrar o campo total .

Passo 3

A densidade linear de carga nos ajuda a relacionar a carga com um pequeno comprimento da barra. Essa relação é dada por:
Isso significa que a carga em um segmento infinitesimal da barra é igual a multiplicado por .

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei de Coulomb para encontrar o campo elétrico causado por esse pequeno elemento de carga no ponto :
Aqui, é a distância entre o elemento de carga e o ponto , e é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 5

Substituindo pela expressão que encontramos no Passo 3:
Isso simplifica o cálculo, pois agora temos em termos de e .

Passo 6

Para encontrar o campo total , precisamos integrar ao longo de toda a extensão da barra. Se a barra tem comprimento , a integral fica:
Essa integração soma todos os campos elétricos produzidos por cada segmento da barra.

Passo 7

Calculando a integral:
Isso nos dá o campo elétrico total no ponto .

Resposta

O campo elétrico produzido pela barra no ponto é:

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