Mostre que dois semiplanos determinados por uma reta são não vazios.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta no plano, e essa reta divide o plano em duas partes chamadas de semiplanos. O exercício quer que a gente mostre que ambos os semiplanos não são vazios, ou seja, que cada um deles realmente contém pontos. Para resolver isso, vamos precisar saber que uma reta no plano divide o plano em duas regiões distintas e que cada uma dessas regiões tem pelo menos um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar uma reta qualquer no plano. Por exemplo, pense na reta que passa pelos pontos e . Essa reta vai estender-se infinitamente em ambas as direções.

Passo 3

Quando você tem uma reta no plano, ela essencialmente age como uma fronteira que separa o plano em duas partes. Essas partes são os semiplanos. Vamos chamá-los de e .

Passo 4

Para mostrar que esses semiplanos não são vazios, precisamos encontrar pelo menos um ponto em cada semiplano que não está na reta .

Passo 5

Vamos escolher um ponto que está “acima” da reta . Por exemplo, o ponto . Esse ponto pertence ao semiplano porque está em uma das regiões divididas pela reta.

Passo 6

Agora, escolhemos outro ponto que está “abaixo” da reta . Digamos o ponto . Esse ponto pertence ao semiplano .

Passo 7

Como encontramos pelo menos um ponto em cada semiplano ( em e em ), podemos concluir que ambos os semiplanos são não vazios.

Resposta

Os dois semiplanos determinados por uma reta contêm pelo menos um ponto cada, ou seja, são não vazios.

Exercícios relacionados

Demonstre os seguintes resultados:
Dois ângulos retos quaisquer são congruentes.
Demonstre os seguintes resultados:
Todo ângulo é congruente a si mesmo.
Como definido, por triângulo entendemos um polígono de três lado. Um triângulo tem por elementos os três vértices, que são os pontos e ; os três lados, que são os segmentos e ; e os três ângulos internos, que são e . Quanto à medida de seus lados um triângulo pode ser chamado:
triângulo acutângulo, quando possui os três ângulos agudos.
Como definido, por triângulo entendemos um polígono de três lado. Um triângulo tem por elementos os três vértices, que são os pontos e ; os três lados, que são os segmentos e ; e os três ângulos internos, que são e . Quanto à medida de seus lados um triângulo pode ser chamado:
triângulo obtusângulo, quando possui um ângulo obtuso.