Mostre que dois semiplanos determinados por uma reta são não vazios.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta no plano, e essa reta divide o plano em duas partes chamadas de semiplanos. O exercício quer que a gente mostre que ambos os semiplanos não são vazios, ou seja, que cada um deles realmente contém pontos. Para resolver isso, vamos precisar saber que uma reta no plano divide o plano em duas regiões distintas e que cada uma dessas regiões tem pelo menos um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar uma reta qualquer no plano. Por exemplo, pense na reta que passa pelos pontos e . Essa reta vai estender-se infinitamente em ambas as direções.

Passo 3

Quando você tem uma reta no plano, ela essencialmente age como uma fronteira que separa o plano em duas partes. Essas partes são os semiplanos. Vamos chamá-los de e .

Passo 4

Para mostrar que esses semiplanos não são vazios, precisamos encontrar pelo menos um ponto em cada semiplano que não está na reta .

Passo 5

Vamos escolher um ponto que está “acima” da reta . Por exemplo, o ponto . Esse ponto pertence ao semiplano porque está em uma das regiões divididas pela reta.

Passo 6

Agora, escolhemos outro ponto que está “abaixo” da reta . Digamos o ponto . Esse ponto pertence ao semiplano .

Passo 7

Como encontramos pelo menos um ponto em cada semiplano ( em e em ), podemos concluir que ambos os semiplanos são não vazios.

Resposta

Os dois semiplanos determinados por uma reta contêm pelo menos um ponto cada, ou seja, são não vazios.

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