Mostre que dois semiplanos determinados por uma reta são não vazios.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta no plano, e essa reta divide o plano em duas partes chamadas de semiplanos. O exercício quer que a gente mostre que ambos os semiplanos não são vazios, ou seja, que cada um deles realmente contém pontos. Para resolver isso, vamos precisar saber que uma reta no plano divide o plano em duas regiões distintas e que cada uma dessas regiões tem pelo menos um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar uma reta qualquer no plano. Por exemplo, pense na reta
que passa pelos pontos
e
. Essa reta vai estender-se infinitamente em ambas as direções.
Passo 3
Quando você tem uma reta no plano, ela essencialmente age como uma fronteira que separa o plano em duas partes. Essas partes são os semiplanos. Vamos chamá-los de
e
.
Passo 4
Para mostrar que esses semiplanos não são vazios, precisamos encontrar pelo menos um ponto em cada semiplano que não está na reta
.
Passo 5
Vamos escolher um ponto que está “acima” da reta
. Por exemplo, o ponto
. Esse ponto pertence ao semiplano
porque está em uma das regiões divididas pela reta.
Passo 6
Agora, escolhemos outro ponto que está “abaixo” da reta
. Digamos o ponto
. Esse ponto pertence ao semiplano
.
Passo 7
Como encontramos pelo menos um ponto em cada semiplano (
em
e
em
), podemos concluir que ambos os semiplanos são não vazios.
Resposta
Os dois semiplanos determinados por uma reta contêm pelo menos um ponto cada, ou seja, são não vazios.