Mostre que dois vetores não nulos
e v :
são
se e somente se existe
tal que:
Utilize esse critério para decidir se os vetores abaixo são LI ou LD:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que dois vetores não nulos
e
são Linearmente Dependentes (LD) se e somente se existe um número escalar
tal que
. Ou seja, os vetores são LD se conseguimos multiplicar um deles por um número para chegar no outro. Para resolver isso, vamos verificar para cada par de vetores se existe esse
.
Passo 2
Vamos começar analisando o primeiro par de vetores:
a)
e
Precisamos verificar se existe um
tal que:
Resolvendo a primeira equação para
:
Agora, vamos ver se esse
funciona nas outras equações:
Para a segunda equação:
Isso não é verdadeiro, pois
. Portanto, não existe um único
que satisfaça todas as equações, o que significa que os vetores não são LD.
Passo 3
Agora, vamos para o segundo par de vetores:
b)
e
Vamos verificar se existe um
tal que:
Resolvendo a primeira equação para
:
Agora, verificando a terceira equação com esse
:
Ambas as equações são verdadeiras, e a segunda equação também é válida porque
. Portanto, existe um
que satisfaz todas as equações, o que significa que os vetores são LD.
Passo 4
Por fim, vamos analisar o terceiro par de vetores:
c)
e
Verificamos se existe um
tal que:
Resolvendo a primeira equação para
:
Verificando a segunda equação com
:
E a terceira equação:
A última equação não é verdadeira, então não existe um único
que satisfaça todas as equações. Portanto, os vetores não são LD.
Resposta
a) LI (Linearmente Independentes)
b) LD (Linearmente Dependentes)
c) LI (Linearmente Independentes)
Exercícios relacionados
Dados dois pontos
e
, encontre a coordenada do ponto
, que se encontra sobre o segmento ligando os pontos P e Q e tal
.
Os pontos médios dos lados de um triângulo são
e
. Determine as coordenadas dos três vértices.
Sejam
e
vetores no espaço.
a) encontre as componentes de um vetor na base formada por
.
b) Mostre que se então as componentes de
na base formada por
são todas iguais a zero.
c) encontre as componentes de um vetor na base formada por
, e w.
a) encontre as componentes de um vetor
b) Mostre que se
c) encontre as componentes de um vetor
Sejam
e
. Mostre que todo vetor
pode ser expresso como combinação linear de