Mostre que dois vetores não nulos u:(a1, a2, a3) e v : (b1, b2, b3) são L D se e somente se existe lambda tal que:
(a1, a2, a3)=(lambda b1, lambda b2, lambda b3)
Utilize esse critério para decidir se os vetores abaixo são LI ou LD:
a) u=(1,2,3)
v=(4,5,6)
b) u=(1,0,3
v=(-2,0,-6)
c) u=(1,2,5
v=(12, 1, 54)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que dois vetores não nulos u = (a1, a2, a3) e v = (b1, b2, b3) são Linearmente Dependentes (LD) se e somente se existe um número escalar lambda tal que u = lambda v. Ou seja, os vetores são LD se conseguimos multiplicar um deles por um número para chegar no outro. Para resolver isso, vamos verificar para cada par de vetores se existe esse lambda.

Passo 2

Vamos começar analisando o primeiro par de vetores:
a) u = (1, 2, 3) e v = (4, 5, 6)
Precisamos verificar se existe um lambda tal que:
1 = lambda cdot 4 2 = lambda cdot 5 3 = lambda cdot 6
Resolvendo a primeira equação para lambda:
lambda = 14
Agora, vamos ver se esse lambda funciona nas outras equações:
Para a segunda equação:
2 = 14 cdot 5 2 = 54
Isso não é verdadeiro, pois 2 neq 54. Portanto, não existe um único lambda que satisfaça todas as equações, o que significa que os vetores não são LD.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo par de vetores:
b) u = (1, 0, 3) e v = (-2, 0, -6)
Vamos verificar se existe um lambda tal que:
1 = lambda cdot (-2) 0 = lambda cdot 0 3 = lambda cdot (-6)
Resolvendo a primeira equação para lambda:
lambda = -12
Agora, verificando a terceira equação com esse lambda:
3 = -12 cdot (-6) 3 = 3
Ambas as equações são verdadeiras, e a segunda equação também é válida porque 0 = 0. Portanto, existe um lambda que satisfaz todas as equações, o que significa que os vetores são LD.

Passo 4

Por fim, vamos analisar o terceiro par de vetores:
c) u = (1, 2, 5) e v = (12, 1, 54)
Verificamos se existe um lambda tal que:
1 = lambda cdot 12 2 = lambda cdot 1 5 = lambda cdot 54
Resolvendo a primeira equação para lambda:
lambda = 2
Verificando a segunda equação com lambda = 2:
2 = 2 cdot 1 2 = 2
E a terceira equação:
5 = 2 cdot 54 5 = 104 5 = 2.5
A última equação não é verdadeira, então não existe um único lambda que satisfaça todas as equações. Portanto, os vetores não são LD.

Resposta

a) LI (Linearmente Independentes)
b) LD (Linearmente Dependentes)
c) LI (Linearmente Independentes)

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