Mostre que dois vetores não nulos e v : são se e somente se existe tal que:
Utilize esse critério para decidir se os vetores abaixo são LI ou LD:
a)

b)

c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que dois vetores não nulos e são Linearmente Dependentes (LD) se e somente se existe um número escalar tal que . Ou seja, os vetores são LD se conseguimos multiplicar um deles por um número para chegar no outro. Para resolver isso, vamos verificar para cada par de vetores se existe esse .

Passo 2

Vamos começar analisando o primeiro par de vetores:
a) e
Precisamos verificar se existe um tal que:
Resolvendo a primeira equação para :
Agora, vamos ver se esse funciona nas outras equações:
Para a segunda equação:
Isso não é verdadeiro, pois . Portanto, não existe um único que satisfaça todas as equações, o que significa que os vetores não são LD.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo par de vetores:
b) e
Vamos verificar se existe um tal que:
Resolvendo a primeira equação para :
Agora, verificando a terceira equação com esse :
Ambas as equações são verdadeiras, e a segunda equação também é válida porque . Portanto, existe um que satisfaz todas as equações, o que significa que os vetores são LD.

Passo 4

Por fim, vamos analisar o terceiro par de vetores:
c) e
Verificamos se existe um tal que:
Resolvendo a primeira equação para :
Verificando a segunda equação com :
E a terceira equação:
A última equação não é verdadeira, então não existe um único que satisfaça todas as equações. Portanto, os vetores não são LD.

Resposta

a) LI (Linearmente Independentes)
b) LD (Linearmente Dependentes)
c) LI (Linearmente Independentes)

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Dados dois pontos e
, encontre a coordenada do ponto , que se encontra sobre o segmento ligando os pontos P e Q e tal .
Os pontos médios dos lados de um triângulo são e . Determine as coordenadas dos três vértices.
Sejam e vetores no espaço.
a) encontre as componentes de um vetor na base formada por .
b) Mostre que se então as componentes de na base formada por são todas iguais a zero.
c) encontre as componentes de um vetor na base formada por , e w.
Sejam e . Mostre que todo vetor pode ser expresso como combinação linear de