Mostre que dois vetores não nulos
e v :
são
se e somente se existe
tal que:
Utilize esse critério para decidir se os vetores abaixo são LI ou LD:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que dois vetores não nulos
e
são Linearmente Dependentes (LD) se e somente se existe um número escalar
tal que
. Ou seja, os vetores são LD se conseguimos multiplicar um deles por um número para chegar no outro. Para resolver isso, vamos verificar para cada par de vetores se existe esse
.
Passo 2
Vamos começar analisando o primeiro par de vetores:
a)
e
Precisamos verificar se existe um
tal que:
Resolvendo a primeira equação para
:
Agora, vamos ver se esse
funciona nas outras equações:
Para a segunda equação:
Isso não é verdadeiro, pois
. Portanto, não existe um único
que satisfaça todas as equações, o que significa que os vetores não são LD.
Passo 3
Agora, vamos para o segundo par de vetores:
b)
e
Vamos verificar se existe um
tal que:
Resolvendo a primeira equação para
:
Agora, verificando a terceira equação com esse
:
Ambas as equações são verdadeiras, e a segunda equação também é válida porque
. Portanto, existe um
que satisfaz todas as equações, o que significa que os vetores são LD.
Passo 4
Por fim, vamos analisar o terceiro par de vetores:
c)
e
Verificamos se existe um
tal que:
Resolvendo a primeira equação para
:
Verificando a segunda equação com
:
E a terceira equação:
A última equação não é verdadeira, então não existe um único
que satisfaça todas as equações. Portanto, os vetores não são LD.
Resposta
a) LI (Linearmente Independentes)
b) LD (Linearmente Dependentes)
c) LI (Linearmente Independentes)