Sejam
e
. Mostre que todo vetor
pode ser expresso como combinação linear de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que qualquer vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
. Isso se encaixa no conteúdo de combinação linear de vetores. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações e encontrar os coeficientes que multiplicam
e
para obter
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Quando dizemos que
é uma combinação linear de
e
, estamos dizendo que existem números
e
tais que:
Substituindo
e
:
Passo 3
Vamos distribuir os coeficientes
e
nas componentes dos vetores:
Agora, somamos as componentes correspondentes:
Passo 4
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
em termos de
e
.
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a segunda equação para
:
Agora, substituímos esse valor de
na primeira equação:
Distribuindo:
Simplificando:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Com
encontrado, substituímos de volta na expressão para
:
Passo 7
Então, encontramos que para qualquer
, os coeficientes
e
que satisfazem a combinação linear são:
Isso mostra que qualquer vetor
pode ser expresso como uma combinação linear de
e
.
Resposta
Concluímos que qualquer vetor
pode ser escrito como:
Ou seja,
é combinação linear dos vetores
e
.