Sejam e . Mostre que todo vetor pode ser expresso como combinação linear de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Isso se encaixa no conteúdo de combinação linear de vetores. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações e encontrar os coeficientes que multiplicam e para obter .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Quando dizemos que é uma combinação linear de e , estamos dizendo que existem números e tais que:
Substituindo e :

Passo 3

Vamos distribuir os coeficientes e nas componentes dos vetores:
Agora, somamos as componentes correspondentes:

Passo 4

Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e em termos de e .

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a segunda equação para :
Agora, substituímos esse valor de na primeira equação:
Distribuindo:
Simplificando:
Agora, isolamos :

Passo 6

Com encontrado, substituímos de volta na expressão para :

Passo 7

Então, encontramos que para qualquer , os coeficientes e que satisfazem a combinação linear são:
Isso mostra que qualquer vetor pode ser expresso como uma combinação linear de e .

Resposta

Concluímos que qualquer vetor pode ser escrito como:
Ou seja, é combinação linear dos vetores e .

Exercícios relacionados

Sejam e vetores no espaço.
a) encontre as componentes de um vetor na base formada por .
b) Mostre que se então as componentes de na base formada por são todas iguais a zero.
c) encontre as componentes de um vetor na base formada por , e w.
Mostre que dois vetores não nulos e v : são se e somente se existe tal que:
Utilize esse critério para decidir se os vetores abaixo são LI ou LD:
a)

b)

c)
Três vértices de um retângulo são e Determinar o quarto vértice e a área.
Sejam pontos distintos de uma reta que estejam nesta ordem igualmente espaçados. Sejam e . Determine o que se pede:
(1) em função de e
(5) em função de
(9) em função de e
(2) em função de e
(6) em função de
(10) em função de
(3) em função de
(7) em função de
(11) em função de e
(4) em função de
(8) em função de e
(12) em função de