Sejam e . Mostre que todo vetor pode ser expresso como combinação linear de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Isso se encaixa no conteúdo de combinação linear de vetores. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações e encontrar os coeficientes que multiplicam e para obter .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Quando dizemos que é uma combinação linear de e , estamos dizendo que existem números e tais que:
Substituindo e :
Passo 3
Vamos distribuir os coeficientes e nas componentes dos vetores:
Agora, somamos as componentes correspondentes:
Passo 4
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e em termos de e .
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a segunda equação para :
Agora, substituímos esse valor de na primeira equação:
Distribuindo:
Simplificando:
Agora, isolamos :
Passo 6
Com encontrado, substituímos de volta na expressão para :
Passo 7
Então, encontramos que para qualquer , os coeficientes e que satisfazem a combinação linear são:
Isso mostra que qualquer vetor pode ser expresso como uma combinação linear de e .
Resposta
Concluímos que qualquer vetor pode ser escrito como: