Sejam u=(2,1) e v=(1,3). Mostre que todo vetor (c1, c2) pode ser expresso como combinação linear de u, v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Isso se encaixa no conteúdo de combinação linear de vetores. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações e encontrar os coeficientes que multiplicam e para obter .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Quando dizemos que a cdot u + b cdot v = (c1, c2) é uma combinação linear de a cdot (2, 1) + b cdot (1, 3) = (c1, c2) e , estamos dizendo que existem números e tais que:
Substituindo e :

Passo 3

Vamos distribuir os coeficientes (2a, a) + (b, 3b) = (c1, c2) e (2a + b, a + 3b) = (c1, c2) nas componentes dos vetores:
Agora, somamos as componentes correspondentes:

Passo 4

Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
2a + b = c1 a + 3b = c2
Vamos resolver esse sistema para encontrar e em termos de e .

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a segunda equação para a = c2 - 3b :
2(c2 - 3b) + b = c1
Agora, substituímos esse valor de 2c2 - 6b + b = c1 na primeira equação:
2c2 - 5b = c1
Distribuindo:
-5b = c1 - 2c2 b = 2c2 - c15
Simplificando:
Agora, isolamos :

Passo 6

Com a = c2 - 3(2c2 - c15) a = c2 - 6c2 - 3c15 a = 5c2 - 6c2 + 3c15 a = -c2 + 3c15 encontrado, substituímos de volta na expressão para :

Passo 7

Então, encontramos que para qualquer a = 3c1 - c25 b = 2c2 - c15 , os coeficientes e que satisfazem a combinação linear são:
Isso mostra que qualquer vetor pode ser expresso como uma combinação linear de e .

Resposta

Concluímos que qualquer vetor (c1, c2) = (3c1 - c25) cdot (2, 1) + (2c2 - c15) cdot (1, 3) pode ser escrito como:
Ou seja, é combinação linear dos vetores e .

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