Sejam e vetores no espaço.
a) encontre as componentes de um vetor na base formada por .
b) Mostre que se então as componentes de na base formada por são todas iguais a zero.
c) encontre as componentes de um vetor na base formada por , e w.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão está pedindo para trabalhar com vetores no espaço e entender como eles se relacionam em uma base específica. Para isso, a gente vai precisar saber sobre bases de vetores, sistemas lineares e como encontrar coordenadas de um vetor em relação a uma base. Vamos por partes!
Passo 2
Parte a): Queremos encontrar as componentes de um vetor na base formada pelos vetores , e . Isso significa que queremos expressar como uma combinação linear desses vetores da base:
Onde , , e são as componentes que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores dos vetores:
Isso resulta em:
Que pode ser escrito como:
Passo 4
Agora temos um sistema de equações para resolver:
a = alpha + gamma b = alpha + beta + gamma c = alpha + beta
Vamos resolver esse sistema para encontrar alpha, beta, e gamma. Podemos começar isolando uma variável. Por exemplo, da terceira equação:
beta = c - alpha
Passo 5
Substituindo beta na segunda equação:
b = alpha + (c - alpha) + gamma b = c + gamma
Isso nos dá:
gamma = b - c
Passo 6
Agora que temos gamma, podemos substituir de volta na primeira equação para encontrar alpha:
a = alpha + (b - c) alpha = a - (b - c) alpha = a - b + c
Passo 7
E então, substituindo alpha na expressão de beta:
beta = c - (a - b + c) beta = c - a + b - c beta = b - a
Passo 8
Agora temos todas as componentes:
alpha = a - b + c beta = b - a gamma = b - c
Passo 9
Parte b): Queremos mostrar que se z = 0, então as componentes de z na base formada por u, v, w são todas iguais a zero.
Se z = (0, 0, 0), usando as expressões que encontramos: