Sejam u=(1,1,1), v=(0,1,1) e w=(1,1,0) vetores no espaço.
a) encontre as componentes de um vetor z=(a, b, c) na base formada por u, v, w.
b) Mostre que se z=0 então as componentes de z na base formada por u, v, w são todas iguais a zero.
c) encontre as componentes de um vetor z=(1,2,3) na base formada por u, v, e w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão está pedindo para trabalhar com vetores no espaço e entender como eles se relacionam em uma base específica. Para isso, a gente vai precisar saber sobre bases de vetores, sistemas lineares e como encontrar coordenadas de um vetor em relação a uma base. Vamos por partes!

Passo 2

Parte a): Queremos encontrar as componentes de um vetor z = (a, b, c) na base formada pelos vetores u = (1,1,1), v = (0,1,1) e w = (1,1,0). Isso significa que queremos expressar z como uma combinação linear desses vetores da base:
z = alpha u + beta v + gamma w
Onde alpha, beta, e gamma são as componentes que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores dos vetores:
(a, b, c) = alpha (1,1,1) + beta (0,1,1) + gamma (1,1,0)
Isso resulta em:
(a, b, c) = (alpha + 0 + gamma, alpha + beta + gamma, alpha + beta + 0)
Que pode ser escrito como:
a = alpha + gamma b = alpha + beta + gamma c = alpha + beta

Passo 4

Agora temos um sistema de equações para resolver:
a = alpha + gamma b = alpha + beta + gamma c = alpha + beta
Vamos resolver esse sistema para encontrar alpha, beta, e gamma. Podemos começar isolando uma variável. Por exemplo, da terceira equação:
beta = c - alpha

Passo 5

Substituindo beta na segunda equação:
b = alpha + (c - alpha) + gamma b = c + gamma
Isso nos dá:
gamma = b - c

Passo 6

Agora que temos gamma, podemos substituir de volta na primeira equação para encontrar alpha:
a = alpha + (b - c) alpha = a - (b - c) alpha = a - b + c

Passo 7

E então, substituindo alpha na expressão de beta:
beta = c - (a - b + c) beta = c - a + b - c beta = b - a

Passo 8

Agora temos todas as componentes:
alpha = a - b + c beta = b - a gamma = b - c

Passo 9

Parte b): Queremos mostrar que se z = 0, então as componentes de z na base formada por u, v, w são todas iguais a zero.
Se z = (0, 0, 0), usando as expressões que encontramos:
alpha = 0 - 0 + 0 = 0 beta = 0 - 0 = 0 gamma = 0 - 0 = 0
Então, alpha = beta = gamma = 0.

Passo 10

Parte c): Agora, vamos encontrar as componentes de z = (1, 2, 3) na base formada por u, v e w. Usando as expressões que já derivamos:
alpha = a - b + c = 1 - 2 + 3 = 2 beta = b - a = 2 - 1 = 1 gamma = b - c = 2 - 3 = -1

Resposta

As componentes de z = (1, 2, 3) na base formada por u, v e w são alpha = 2, beta = 1 e gamma = -1. Ou seja:
z = 2u + 1v - 1w

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