Sejam e vetores no espaço.
a) encontre as componentes de um vetor na base formada por .
b) Mostre que se então as componentes de na base formada por são todas iguais a zero.
c) encontre as componentes de um vetor na base formada por , e w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão está pedindo para trabalhar com vetores no espaço e entender como eles se relacionam em uma base específica. Para isso, a gente vai precisar saber sobre bases de vetores, sistemas lineares e como encontrar coordenadas de um vetor em relação a uma base. Vamos por partes!

Passo 2

Parte a): Queremos encontrar as componentes de um vetor na base formada pelos vetores , e . Isso significa que queremos expressar como uma combinação linear desses vetores da base:
Onde , , e são as componentes que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores dos vetores:
Isso resulta em:
Que pode ser escrito como:

Passo 4

Agora temos um sistema de equações para resolver:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , , e . Podemos começar isolando uma variável. Por exemplo, da terceira equação:

Passo 5

Substituindo na segunda equação:
Isso nos dá:

Passo 6

Agora que temos , podemos substituir de volta na primeira equação para encontrar :

Passo 7

E então, substituindo na expressão de :

Passo 8

Agora temos todas as componentes:

Passo 9

Parte b): Queremos mostrar que se , então as componentes de na base formada por , , são todas iguais a zero.
Se , usando as expressões que encontramos:
Então, .

Passo 10

Parte c): Agora, vamos encontrar as componentes de na base formada por , e . Usando as expressões que já derivamos:

Resposta

As componentes de na base formada por , e são , e . Ou seja:

Exercícios relacionados

Mostre que dois vetores não nulos e v : são se e somente se existe tal que:
Utilize esse critério para decidir se os vetores abaixo são LI ou LD:
a)

b)

c)
Dados dois pontos e
, encontre a coordenada do ponto , que se encontra sobre o segmento ligando os pontos P e Q e tal .
Sejam e . Mostre que todo vetor pode ser expresso como combinação linear de
Três vértices de um retângulo são e Determinar o quarto vértice e a área.