Sejam e vetores no espaço.
a) encontre as componentes de um vetor na base formada por .
b) Mostre que se então as componentes de na base formada por são todas iguais a zero.
c) encontre as componentes de um vetor na base formada por , e w.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão está pedindo para trabalhar com vetores no espaço e entender como eles se relacionam em uma base específica. Para isso, a gente vai precisar saber sobre bases de vetores, sistemas lineares e como encontrar coordenadas de um vetor em relação a uma base. Vamos por partes!
Passo 2
Parte a): Queremos encontrar as componentes de um vetor na base formada pelos vetores , e . Isso significa que queremos expressar como uma combinação linear desses vetores da base:
Onde , , e são as componentes que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores dos vetores:
Isso resulta em:
Que pode ser escrito como:
Passo 4
Agora temos um sistema de equações para resolver:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , , e . Podemos começar isolando uma variável. Por exemplo, da terceira equação:
Passo 5
Substituindo na segunda equação:
Isso nos dá:
Passo 6
Agora que temos , podemos substituir de volta na primeira equação para encontrar :
Passo 7
E então, substituindo na expressão de :
Passo 8
Agora temos todas as componentes:
Passo 9
Parte b): Queremos mostrar que se , então as componentes de na base formada por , , são todas iguais a zero.
Se , usando as expressões que encontramos:
Então, .
Passo 10
Parte c): Agora, vamos encontrar as componentes de na base formada por , e . Usando as expressões que já derivamos:
Resposta
As componentes de na base formada por , e são , e . Ou seja: