Mostre que duas transformações de Lorentz sucessivas, correspondentes a velocidades v1 e v2 na mesma direção e sentido, são equivalentes a uma única transformação de Lorentz com velocidade
V=v1+v21+v1 v2 / c^2. Este resultado é compatível com a fórmula de adição de velocidades obtida em aula? Isso é razoável?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas transformações de Lorentz, que são usadas na teoria da relatividade para mudar de um referencial para outro que tá se movendo a uma certa velocidade. As velocidades dessas transformações são e , ambas na mesma direção e sentido. A gente precisa mostrar que aplicar essas duas transformações sucessivamente é igual a aplicar uma única transformação com velocidade . Além disso, temos que verificar se esse resultado combina com a fórmula de adição de velocidades que aprendemos em aula e ver se faz sentido. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as transformações de Lorentz e a fórmula de adição de velocidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a transformação de Lorentz para uma velocidade t' = gamma ( t - v xc^2 ) na direção x. A transformação das coordenadas de tempo e espaço é dada por:
x' = gamma (x - v t)
onde é o fator de Lorentz.

Passo 3

Agora, vamos considerar duas transformações de Lorentz consecutivas: primeiro com velocidade t' = gamma1 ( t - v1 xc^2 ) e depois com velocidade x' = gamma1 (x - v1 t) . Vamos aplicar a primeira transformação para mudar de um referencial S para S’, e depois a segunda transformação para mudar de S’ para S’’.
Primeiro, aplicamos a transformação com :
onde .

Passo 4

Em seguida, aplicamos a transformação com t'' = gamma2 ( t' - v2 x'c^2 ) no referencial S’:
x'' = gamma2 (x' - v2 t')
onde .

Passo 5

Agora, substituímos as expressões de t'' = gamma2 [ gamma1 ( t - v1 xc^2 ) - v2c^2 gamma1 (x - v1 t) ] e x'' = gamma2 [ gamma1 (x - v1 t) - v2 gamma1 ( t - v1 xc^2 ) ] da primeira transformação nas equações da segunda transformação:

Passo 6

Vamos simplificar as expressões para t'' = gamma1 gamma2 ( t - v1 xc^2 - v2 xc^2 + v1 v2 tc^2 ) e t'' = gamma1 gamma2 ( (1 + v1 v2c^2) t - (v1 + v2) xc^2 ) :
Para x'' = gamma1 gamma2 ( x - v1 t - v2 t + v1 v2 xc^2 ) :
x'' = gamma1 gamma2 ( (1 + v1 v2c^2) x - (v1 + v2) t )
Para :

Passo 7

Queremos que essa transformação resultante t'' = gammaV ( t - V xc^2 ) e x'' = gammaV (x - V t) se pareça com uma única transformação de Lorentz com velocidade gammaV = gamma1 gamma2 (1 + v1 v2c^2) . Então, comparando com as fórmulas originais de Lorentz:
V = v1 + v21 + v1 v2c^2
Isso implica que:

Passo 8

Portanto, mostramos que duas transformações de Lorentz sucessivas com velocidades e resultam em uma única transformação de Lorentz com velocidade .

Passo 9

Agora, vamos conferir se isso combina com a fórmula de adição de velocidades que aprendemos em aula. A f��rmula de adição de velocidades na relatividade é exatamente essa:
V = v1 + v21 + v1 v2c^2

Passo 10

Então, sim, o resultado que obtivemos está totalmente compatível com a fórmula de adição de velocidades discutida em aula. Isso faz sentido porque a relatividade especial ajusta a adição de velocidades para levar em conta os efeitos da desaceleração do tempo e da contração do espaço, garantindo que a velocidade da luz seja sempre o limite máximo.

Resposta

Duas transformaç��es de Lorentz sucessivas com velocidades e na mesma direção resultam em uma única transformação de Lorentz com velocidade . Esse resultado é compatível com a fórmula de adição de velocidades aprendida em aula e é razoável dentro do contexto da relatividade especial.

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