Mostre que duas transformações de Lorentz sucessivas, correspondentes a velocidades
e
na mesma direção e sentido, são equivalentes a uma única transformação de Lorentz com velocidade
. Este resultado é compatível com a fórmula de adição de velocidades obtida em aula? Isso é razoável?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas transformações de Lorentz, que são usadas na teoria da relatividade para mudar de um referencial para outro que tá se movendo a uma certa velocidade. As velocidades dessas transformações são
e
, ambas na mesma direção e sentido. A gente precisa mostrar que aplicar essas duas transformações sucessivamente é igual a aplicar uma única transformação com velocidade
. Além disso, temos que verificar se esse resultado combina com a fórmula de adição de velocidades que aprendemos em aula e ver se faz sentido. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as transformações de Lorentz e a fórmula de adição de velocidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a transformação de Lorentz para uma velocidade
na direção x. A transformação das coordenadas de tempo e espaço é dada por:
onde
é o fator de Lorentz.
Passo 3
Agora, vamos considerar duas transformações de Lorentz consecutivas: primeiro com velocidade
e depois com velocidade
. Vamos aplicar a primeira transformação para mudar de um referencial S para S’, e depois a segunda transformação para mudar de S’ para S’’.
Primeiro, aplicamos a transformação com
:
onde
.
Passo 4
Em seguida, aplicamos a transformação com
no referencial S’:
onde
.
Passo 5
Agora, substituímos as expressões de
e
da primeira transformação nas equações da segunda transformação:
Passo 6
Vamos simplificar as expressões para
e
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Queremos que essa transformação resultante
e
se pareça com uma única transformação de Lorentz com velocidade
. Então, comparando com as fórmulas originais de Lorentz:
Isso implica que:
Passo 8
Portanto, mostramos que duas transformações de Lorentz sucessivas com velocidades
e
resultam em uma única transformação de Lorentz com velocidade
.
Passo 9
Agora, vamos conferir se isso combina com a fórmula de adição de velocidades que aprendemos em aula. A f��rmula de adição de velocidades na relatividade é exatamente essa:
Passo 10
Então, sim, o resultado que obtivemos está totalmente compatível com a fórmula de adição de velocidades discutida em aula. Isso faz sentido porque a relatividade especial ajusta a adição de velocidades para levar em conta os efeitos da desaceleração do tempo e da contração do espaço, garantindo que a velocidade da luz
seja sempre o limite máximo.
Resposta
Duas transforma�es de Lorentz sucessivas com velocidades
e
na mesma direção resultam em uma única transformação de Lorentz com velocidade
. Esse resultado é compatível com a fórmula de adição de velocidades aprendida em aula e é razoável dentro do contexto da relatividade especial.