Mostre que
. Qual é a dimensão de
?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa mostrar que
, ou seja, que o conjunto
é igual ao espaço vetorial
. Depois disso, vamos descobrir qual é a dimensão de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e subespaços, além de entender o que significa a dimensão de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a gente diz
, isso significa que o conjunto
gera todo o espaço
. Ou seja, qualquer vetor em
pode ser formado por combinações lineares dos vetores em
. Isso é importante porque mostra que
não deixa nenhum “espaço vazio” em
.
Passo 3
Para mostrar que
, precisamos provar duas coisas:
-
: Todos os vetores de estão em . -
: Todo vetor de pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de .
3.1 Provar que
Isso geralmente é direto, já que
é definido como um subconjunto de
. Assim, todos os elementos de
já pertencem a
.
3.2 Provar que
Aqui, mostramos que qualquer vetor
em
pode ser escrito como
, onde
estão em
e
são escalares.
Se conseguirmos expressar qualquer vetor de
dessa forma, significa que
realmente cobre todo o espaço
.
Passo 4
Depois de mostrar que
, queremos encontrar a dimensão de
. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço, ou seja, o número mínimo de vetores que precisamos para gerar todo o espaço sem redundâncias.
Se
for uma base para
, então a dimensão de
é igual ao número de vetores em
.
Passo 5
Resumindo:
- Mostramos que
gera todo o espaço , ou seja, . - A dimensão de
é igual ao número de vetores na base .
Resposta
Assim,
e a dimensão de
é igual ao número de vetores que compõem o conjunto
.