Mostre que [E]=V. Qual é a dimensão de V?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa mostrar que , ou seja, que o conjunto é igual ao espaço vetorial . Depois disso, vamos descobrir qual é a dimensão de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e subespaços, além de entender o que significa a dimensão de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a gente diz , isso significa que o conjunto gera todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser formado por combinações lineares dos vetores em . Isso é importante porque mostra que não deixa nenhum “espaço vazio” em .

Passo 3

Para mostrar que , precisamos provar duas coisas:
  1. : Todos os vetores de estão em .
  2. : Todo vetor de pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de .

3.1 Provar que

Isso geralmente é direto, já que é definido como um subconjunto de . Assim, todos os elementos de já pertencem a .

3.2 Provar que

Aqui, mostramos que qualquer vetor em pode ser escrito como , onde estão em e são escalares.
Se conseguirmos expressar qualquer vetor de dessa forma, significa que realmente cobre todo o espaço .

Passo 4

Depois de mostrar que , queremos encontrar a dimensão de . A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço, ou seja, o número mínimo de vetores que precisamos para gerar todo o espaço sem redundâncias.
Se for uma base para , então a dimensão de é igual ao número de vetores em .

Passo 5

Resumindo:
  • Mostramos que gera todo o espaço , ou seja, .
  • A dimensão de é igual ao número de vetores na base .

Resposta

Assim, e a dimensão de é igual ao número de vetores que compõem o conjunto .

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