Mostre que se E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) são bases ortonormais, então a matriz M de mudança de base de E para F satisfaz M M^t=I, onde I é a matriz identidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases ortonormais e em um espaço vetorial. O objetivo é mostrar que a matriz de mudança de base de para , chamada , satisfaz a equação , onde é a matriz identidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são bases ortonormais, matrizes de mudança de base e propriedades das matrizes transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base ortonormal. Uma base é um conjunto de vetores que são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto interno entre qualquer par de vetores diferentes é zero) e cada vetor tem norma 1. Isso facilita muito nossos cálculos porque os vetores são “perfeitos” entre si no espaço.

Passo 3

Agora, a matriz de mudança de base de para é a matriz que transforma as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas na base . Cada coluna de é formada pelas coordenadas dos vetores da base expressos na base .

Passo 4

Como ambas as bases são ortonormais, a matriz tem uma propriedade especial: suas colunas são vetores ortonormais. Isso significa que é uma matriz ortogonal. E uma das propriedades das matrizes ortogonais é que a matriz transposta é igual à sua inversa, ou seja, .

Passo 5

Sabendo que M cdot M^t = M cdot M^-1 = I , podemos multiplicar pela sua transposta:
Onde é a matriz identidade. Isso mostra que a multiplicação de pela sua transposta resulta na identidade, provando o que queríamos.

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, a matriz de mudança de base satisfaz a equação desejada quando as bases e são ortonormais.

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