Mostre como encontrar a solução geral das equações diferenciais de segunda ordem não-homogêneas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial de segunda ordem não-homogênea:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular para a parte não-homogênea. Isso vai nos dar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, onde o lado direito é zero:
Para resolver essa equação homogênea, vamos usar o método da equação característica, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica para a equação homogênea é obtida substituindo
por
:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não-homogênea:
Observando o termo não-homogêneo
, vemos que é um produto de um polinômio em
e uma função exponencial. Vamos assumir uma forma para
que reflita essa estrutura.
Passo 7
Vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 8
Calculando as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 9
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 10
Comparando os coeficientes dos termos com
e
de ambos os lados:
Para
:
Para
:
A igualdade
indica que nossa hipótese inicial para
está na solução homogênea. Então, precisamos multiplicar nossa hipótese por
para obter uma solução particular adequada.
Passo 11
Vamos tentar uma nova hipótese para
:
Calculando as derivadas novamente e substituindo na equação original, resolveremos para encontrar os valores de
e
.
Após os cálculos, obteremos os valores de
e
que satisfazem a equação.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Seja
definida para
com inversa
. Use o Teorema da Função Inversa para mostrar que
é derivável e calcular
.
Considere as funções vetoriais
Calcule
Faça um esboço do domínio de cada função:
©
©
Resolva a integral indefinida
b)
b)