Seja definida para com inversa . Use o Teorema da Função Inversa para mostrar que é derivável e calcular .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função , definida para . A gente precisa mostrar que a inversa dessa função, chamada , é derivável usando o Teorema da Função Inversa e depois calcular a derivada de , que é . Para isso, vamos precisar entender como funciona a derivada de funções inversas e aplicar algumas regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema da Função Inversa. Esse teorema diz que se uma função é diferenciável e sua derivada não é zero no ponto considerado, então a inversa de também é diferenciável nesse ponto, e a derivada de é dada por:
Então, para aplicar esse teorema, precisamos verificar se é diferenciável e se sua derivada nunca é zero para .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de .
Derivando termo a termo:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar para .
Como , é sempre positivo. Portanto:
Isso significa que nunca é zero para . Logo, o Teorema da Função Inversa se aplica, e podemos afirmar que é derivável.

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do Teorema da Função Inversa para encontrar .
Segundo o teorema:
Já sabemos que:
Então, substituindo por :
Portanto:

Passo 6

Para simplificar , podemos manipular a expressão:
Então, a derivada de em termos de é:

Resposta

A inversa da função é derivável e sua derivada é dada por:

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