Seja
definida para
com inversa
. Use o Teorema da Função Inversa para mostrar que
é derivável e calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função
, definida para
. A gente precisa mostrar que a inversa dessa função, chamada
, é derivável usando o Teorema da Função Inversa e depois calcular a derivada de
, que é
. Para isso, vamos precisar entender como funciona a derivada de funções inversas e aplicar algumas regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema da Função Inversa. Esse teorema diz que se uma função
é diferenciável e sua derivada
não é zero no ponto considerado, então a inversa
de
também é diferenciável nesse ponto, e a derivada de
é dada por:
Então, para aplicar esse teorema, precisamos verificar se
é diferenciável e se sua derivada nunca é zero para
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
.
Derivando termo a termo:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar
para
.
Como
,
é sempre positivo. Portanto:
Isso significa que
nunca é zero para
. Logo, o Teorema da Função Inversa se aplica, e podemos afirmar que
é derivável.
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula do Teorema da Função Inversa para encontrar
.
Segundo o teorema:
Já sabemos que:
Então, substituindo
por
:
Portanto:
Passo 6
Para simplificar
, podemos manipular a expressão:
Então, a derivada de
em termos de
é:
Resposta
A inversa
da função
é derivável e sua derivada é dada por:
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(d)
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