Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo
. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma geral
. No nosso caso,
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para torná-la fácil de integrar.
Passo 3
O fator integrante, que vamos chamar de
, é dado por:
Então, substituindo
por
, temos:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação original em uma forma que seja fácil de integrar.
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para a forma:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de
, o que facilita a integração.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
, temos:
A integral do lado esquerdo simplifica para
, então:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Encontre os limites abaixo
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