Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo . Estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma geral . No nosso caso, e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para torná-la fácil de integrar.

Passo 3

O fator integrante, que vamos chamar de , é dado por:
Então, substituindo por , temos:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação original em uma forma que seja fácil de integrar.

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para a forma:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de , o que facilita a integração.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a , temos:
A integral do lado esquerdo simplifica para , então:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :
Substituindo pela expressão que encontramos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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