Teste o programa acima para a função f:[-3,3] R, definida por
f(x)=cos ^3(x)+cos ^2(x)-4 cos (x)+2.05
e exprima suas conclusões com base nos resultados encontrados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para testarmos a função f(x) = cos^3(x) + cos^2(x) - 4 cos(x) + 2.05 , definida por
Vamos analisar essa função no intervalo de a , usando conceitos de funções trigonométricas e análise de gráficos para entender seu comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes da função. Temos termos envolvendo elevados a diferentes potências. Para simplificar, podemos calcular o valor de para vários pontos no intervalo .

Passo 3

Escolhemos alguns valores de f(-3) = cos^3(-3) + cos^2(-3) - 4 cos(-3) + 2.05 dentro do intervalo e calculamos f(-3) = cos^3(3) + cos^2(3) - 4 cos(3) + 2.05 :
  1. Para f(0) = cos^3(0) + cos^2(0) - 4 cos(0) + 2.05 = 1 + 1 - 4(1) + 2.05 = 0.05 :
    f(pi) = cos^3(pi) + cos^2(pi) - 4 cos(pi) + 2.05 = (-1)^3 + (-1)^2 - 4(-1) + 2.05 = -1 + 1 + 4 + 2.05 = 6.05
    Como , fica:
  2. Para :
  3. Para (aproximadamente 3.1416, que está fora do intervalo, mas próximo de 3):

Passo 4

Vamos plotar esses pontos para visualizar o comportamento da função. Observando os valores calculados:
  • Em , será semelhante a devido à periodicidade da função cosseno.
  • Em , .
  • Em , .

Passo 5

Agora, analisamos o gráfico da função no intervalo . Notamos que:
  • A função tem um ponto mínimo próximo a .
  • A função aumenta conforme nos aproximamos de , alcançando um valor maior.
  • A periodicidade do cosseno afeta a forma geral da função, criando oscilações.

Passo 6

Para uma análise mais detalhada, podemos derivar a função para encontrar pontos de máximo e mínimo:
f'(x) = 3cos^2(x)(- sin(x)) + 2cos(x)(- sin(x)) - 4(-sin(x)) = -3cos^2(x)sin(x) - 2cos(x)sin(x) + 4sin(x)
Simplificando:
f'(x) = sin(x) ( -3cos^2(x) - 2cos(x) + 4 )
Encontramos quando ou .

Passo 7

Resolvendo , encontramos os valores de que levam a pontos de máximo ou mínimo. Isso nos ajuda a identificar onde a função atinge seus valores extremos no intervalo.

Resposta

Após analisar a função no intervalo , observamos que ela apresenta um ponto mínimo próximo a e aumenta conforme nos aproximamos de , atingindo aproximadamente . A derivada da função revelou pontos de máximo e mínimo, confirmando as oscilações típicas de funções trigonométricas. Concluímos que a função possui variações significativas dentro do intervalo analisado, com comportamentos extremos influenciados pela periodicidade do cosseno.

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