Teste o programa acima para a função
, definida por
e exprima suas conclusões com base nos resultados encontrados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para testarmos a função
, definida por
Vamos analisar essa função no intervalo de
a
, usando conceitos de funções trigonométricas e análise de gráficos para entender seu comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os componentes da função. Temos termos envolvendo
elevados a diferentes potências. Para simplificar, podemos calcular o valor de
para vários pontos no intervalo
.
Passo 3
Escolhemos alguns valores de
dentro do intervalo e calculamos
:
-
Para
: Como, fica: -
Para
: -
Para
(aproximadamente 3.1416, que está fora do intervalo, mas próximo de 3):
Passo 4
Vamos plotar esses pontos para visualizar o comportamento da função. Observando os valores calculados:
- Em
, será semelhante a devido à periodicidade da função cosseno. - Em
, . - Em
, .
Passo 5
Agora, analisamos o gráfico da função
no intervalo
. Notamos que:
- A função tem um ponto mínimo próximo a
. - A função aumenta conforme nos aproximamos de
, alcançando um valor maior. - A periodicidade do cosseno afeta a forma geral da função, criando oscilações.
Passo 6
Para uma análise mais detalhada, podemos derivar a função para encontrar pontos de máximo e mínimo:
Simplificando:
Encontramos
quando
ou
.
Passo 7
Resolvendo
, encontramos os valores de
que levam a pontos de máximo ou mínimo. Isso nos ajuda a identificar onde a função atinge seus valores extremos no intervalo.
Resposta
Após analisar a função
no intervalo
, observamos que ela apresenta um ponto mínimo próximo a
e aumenta conforme nos aproximamos de
, atingindo aproximadamente
. A derivada da função revelou pontos de máximo e mínimo, confirmando as oscilações típicas de funções trigonométricas. Concluímos que a função possui variações significativas dentro do intervalo analisado, com comportamentos extremos influenciados pela periodicidade do cosseno.