Se um objeto move-se ao longo de uma reta com função posição
, então sua velocidade é
. Se quisermos calcular a distância percorrida durante o intervalo de tempo, teremos de considerar os intervalos quando
(a partícula move-se para a direita) e também os intervalos quando
(a partícula move-se para a esquerda). Em ambos os casos a distância é computada integrando-se
. A aceleração do objeto é
.
Uma partícula move-se ao longo de uma reta de tal forma que sua aceleração no instante
é
.
(b) Ache o deslocamento da partícula durante o período de tempo
.
Uma partícula move-se ao longo de uma reta de tal forma que sua aceleração no instante
(b) Ache o deslocamento da partícula durante o período de tempo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. A questão pede para a gente encontrar o deslocamento da partícula no intervalo de tempo de 1 a 4 segundos. Sabemos que a aceleração da partícula é dada por
. Para resolver isso, vamos precisar integrar a aceleração para achar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para encontrar o deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula a partir da aceleração. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Então,
Integrando termo a termo:
Aqui,
é a constante de integração que representa a velocidade inicial. Como não foi dado um valor específico para a velocidade inicial, vamos assumir que a velocidade no instante
é zero (
) para simplificar.
Aplicando
:
Então, a função da velocidade fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o deslocamento da partícula no intervalo de
. O deslocamento
é a integral da velocidade nesse intervalo:
Integrando termo a termo:
Agora, vamos calcular nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Subtraindo os valores:
Resposta
O deslocamento da partícula durante o período de tempo de 1 a 4 segundos é de
.