Se um objeto move-se ao longo de uma reta com função posição s(t), então sua velocidade é v(t) = s'(t). Se quisermos calcular a distância percorrida durante o intervalo de tempo, teremos de considerar os intervalos quando v(t) ≥ 0 (a partícula move-se para a direita) e também os intervalos quando v(t) <= 0 (a partícula move-se para a esquerda). Em ambos os casos a distância é computada integrando-se |v(t)|. A aceleração do objeto é a(t) = v(t).
Uma partícula move-se ao longo de uma reta de tal forma que sua aceleração no instante t é a(t) = 2t - 1 m/s².
(b) Ache o deslocamento da partícula durante o período de tempo 1 <= t <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. A questão pede para a gente encontrar o deslocamento da partícula no intervalo de tempo de 1 a 4 segundos. Sabemos que a aceleração da partícula é dada por . Para resolver isso, vamos precisar integrar a aceleração para achar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para encontrar o deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula a partir da aceleração. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Então,
Integrando termo a termo:
Aqui, é a constante de integração que representa a velocidade inicial. Como não foi dado um valor específico para a velocidade inicial, vamos assumir que a velocidade no instante é zero ( ) para simplificar.
Aplicando :
Então, a função da velocidade fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o deslocamento da partícula no intervalo de . O deslocamento é a integral da velocidade nesse intervalo:
Integrando termo a termo:
Agora, vamos calcular nos limites de integração:
Para :
Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

O deslocamento da partícula durante o período de tempo de 1 a 4 segundos é de .

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