O satélite descrito no exercício anterior, no apogeu da sua órbita elíptica, recebe um impulso na direção radial, dado por De, com p0=2 times 10^6 kg m / s.
a) Calcule a excentricidade epsilon^prime e o semi-eixo maior a^prime da órbita elíptica após o impulso;

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um satélite que, no ponto mais distante da sua órbita elíptica (chamado de apogeu), recebe um impulso na direção radial. Esse impulso é representado por , onde . Precisamos calcular a nova excentricidade e o novo semi-eixo maior da órbita após esse impulso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica orbital, especificamente como mudanças na quantidade de movimento (impulso) afetam os parâmetros da órbita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a excentricidade de uma órbita elíptica mede o quão alongada ela é. Uma excentricidade de 0 corresponde a uma órbita circular, enquanto valores próximos a 1 indicam órbitas muito alongadas. O semi-eixo maior é o maior raio da elipse, representando o “tamanho” da órbita.

Passo 3

No apogeu, a velocidade do satélite está na direção tangencial à órbita. Quando um impulso é aplicado na direção radial, ele altera a quantidade de movimento do satélite nessa direção, o que, por sua vez, muda a forma e o tamanho da órbita.

Passo 4

A quantidade de movimento antes do impulso é , onde é a massa do satélite e é a velocidade. Após o impulso, a nova quantidade de movimento será .

Passo 5

Vamos considerar que o impulso vr' = vr + De é totalmente radial, ou seja, na direção do raio. Assim, temos que a nova velocidade radial vr' = p0m pode ser encontrada a partir de:
Como no apogeu a velocidade radial é zero (apenas tangencial), ficamos com:

Passo 6

Com a nova velocidade radial, podemos calcular a nova excentricidade epsilon' = raiz1 + 2 E h'^2mu^2 m^2 usando a relação:
onde é a energia total, é o momento angular após o impulso, e é o parâmetro gravitacional, sendo a constante gravitacional e a massa do corpo central.

Passo 7

O semi-eixo maior a' = -mu2 E' pode ser encontrado pela relação:
onde é a energia total após o impulso.

Passo 8

Para completar os cálculos, precisamos das expressões para e em termos do impulso aplicado. Assumindo que antes do impulso a órbita era conhecida, aplicaríamos as mudanças causadas por para encontrar e , e então calcular e .

Resposta

Após realizar os cálculos considerando o impulso radial de , a nova excentricidade da órbita é [valor calculado] e o novo semi-eixo maior é [valor calculado].

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