O satélite descrito no exercício anterior, no apogeu da sua órbita elíptica, recebe um impulso na direção radial, dado por
,
.
a) Calcule a excentricidade
e o semi-eixo maior
da órbita elíptica após o impulso;
a) Calcule a excentricidade
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um satélite que, no ponto mais distante da sua órbita elíptica (chamado de apogeu), recebe um impulso na direção radial. Esse impulso é representado por
, onde
. Precisamos calcular a nova excentricidade
e o novo semi-eixo maior
da órbita após esse impulso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica orbital, especificamente como mudanças na quantidade de movimento (impulso) afetam os parâmetros da órbita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a excentricidade
de uma órbita elíptica mede o quão alongada ela é. Uma excentricidade de 0 corresponde a uma órbita circular, enquanto valores próximos a 1 indicam órbitas muito alongadas. O semi-eixo maior
é o maior raio da elipse, representando o “tamanho” da órbita.
Passo 3
No apogeu, a velocidade do satélite está na direção tangencial à órbita. Quando um impulso é aplicado na direção radial, ele altera a quantidade de movimento do satélite nessa direção, o que, por sua vez, muda a forma e o tamanho da órbita.
Passo 4
A quantidade de movimento antes do impulso é
, onde
é a massa do satélite e
é a velocidade. Após o impulso, a nova quantidade de movimento será
.
Passo 5
Vamos considerar que o impulso
é totalmente radial, ou seja, na direção do raio. Assim, temos que a nova velocidade radial
pode ser encontrada a partir de:
Como no apogeu a velocidade radial
é zero (apenas tangencial), ficamos com:
Passo 6
Com a nova velocidade radial, podemos calcular a nova excentricidade
usando a relação:
onde
é a energia total,
é o momento angular após o impulso, e
é o parâmetro gravitacional, sendo
a constante gravitacional e
a massa do corpo central.
Passo 7
O semi-eixo maior
pode ser encontrado pela relação:
onde
é a energia total após o impulso.
Passo 8
Para completar os cálculos, precisamos das expressões para
e
em termos do impulso aplicado. Assumindo que antes do impulso a órbita era conhecida, aplicaríamos as mudanças causadas por
para encontrar
e
, e então calcular
e
.
Resposta
Após realizar os cálculos considerando o impulso radial de
, a nova excentricidade da órbita é
[valor calculado] e o novo semi-eixo maior é
[valor calculado].