Uma partícula se move em uma órbita circular de raio
, com centro no ponto
0 ), e cujo centro de força está no ponto
. A trajetória da partícula é dada por
Determine a força
relacionada à essa trajetória.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula que está se movendo em uma órbita circular com raio
, centrada no ponto
. O centro de força, ou seja, o ponto onde a força que atua na partícula está localizada, é no ponto
. A trajetória da partícula é dada pela equação:
Nosso objetivo é determinar a força
que está relacionada a essa trajetória. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica, especialmente a segunda lei de Newton e o movimento em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da trajetória:
. Aqui,
é a distância da partícula ao centro de força, e
é o ângulo polar. Essa forma sugere que a trajetória é uma circunferência deslocada, ou seja, a partícula está se movendo em um caminho circular com centro deslocado.
Sabemos que, para movimento circular, a força que mantém a partícula na trajetória é a força centrípeta. A força centrípeta é dada por:
onde
é a massa da partícula,
é a velocidade angular, e
é o raio da trajetória.
Passo 3
Mas, como a trajetória está descrita em termos de
, vamos usar a segunda lei de Newton em coordenadas polares. A segunda lei de Newton em coordenadas polares é:
Aqui,
e
são as componentes da força nas direções radial e angular, respectivamente. Como a força está centralizada no ponto
, ela só tem componente radial, então
.
Passo 4
Vamos calcular
e
a partir de
.
Primeiro, derivamos
em relação ao tempo
:
E a segunda derivada:
Passo 5
Como
, temos:
Substituindo
:
Simplificando:
Isso nos dá uma relação entre
e
, mas como queremos a força, vamos focar na componente radial
.
Passo 6
Agora, voltando à expressão para
:
Substituindo
:
Simplificando:
Mas, da relação anterior, sabemos que
, então substituindo:
Passo 7
Para simplificar, notamos que
.
No entanto, para uma força central, geralmente expressamos
em termos de
. Sabemos que
, então podemos resolver para
:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, para expressar
em termos de
, observamos que
pode ser relacionado à velocidade angular e, dependendo das condições do problema, pode ser constante. Se assumirmos uma velocidade angular constante
, então
, e a força torna-se:
Podemos simplificar mais:
Resposta
A força
relacionada à trajetória da partícula é:
Onde:
-
é a massa da partícula, -
é o raio da órbita, -
é a distância da partícula ao centro de força, e -
é a velocidade angular da partícula.