Uma partícula se move em uma órbita circular de raio a, com centro no ponto (x=a, y= 0 ), e cujo centro de força está no ponto (x= 0, y=0). A trajetória da partícula é dada por
r(theta)=2 a cos theta
Determine a força F(r) relacionada à essa trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula que está se movendo em uma órbita circular com raio a, centrada no ponto (x = a, y = 0). O centro de força, ou seja, o ponto onde a força que atua na partícula está localizada, é no ponto (0, 0). A trajetória da partícula é dada pela equação:
r(theta) = 2a cos theta
Nosso objetivo é determinar a força F(r) que está relacionada a essa trajetória. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica, especialmente a segunda lei de Newton e o movimento em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da trajetória: r(theta) = 2a cos theta. Aqui, r é a distância da partícula ao centro de força, e theta é o ângulo polar. Essa forma sugere que a trajetória é uma circunferência deslocada, ou seja, a partícula está se movendo em um caminho circular com centro deslocado.
Sabemos que, para movimento circular, a força que mantém a partícula na trajetória é a força centrípeta. A força centrípeta é dada por:
Fc = m cdot omega^2 cdot r
onde m é a massa da partícula, omega é a velocidade angular, e r é o raio da trajetória.

Passo 3

Mas, como a trajetória está descrita em termos de r(theta), vamos usar a segunda lei de Newton em coordenadas polares. A segunda lei de Newton em coordenadas polares é:
Fr = m ( ddotr - r dottheta^2 )
Ftheta = m ( r ddottheta + 2 dotr dottheta )
Aqui, Fr e Ftheta são as componentes da força nas direções radial e angular, respectivamente. Como a força está centralizada no ponto (0,0), ela só tem componente radial, então Ftheta = 0.

Passo 4

Vamos calcular dotr e ddotr a partir de r(theta) = 2a cos theta.
Primeiro, derivamos r em relação ao tempo t:
dotr = drdt = -2a sin theta cdot dottheta
E a segunda derivada:
ddotr = d^2 rdt^2 = -2a cos theta cdot dottheta^2 - 2a sin theta cdot ddottheta

Passo 5

Como Ftheta = 0, temos:
0 = r ddottheta + 2 dotr dottheta
Substituindo dotr:
0 = 2a cos theta cdot ddottheta + 2 (-2a sin theta cdot dottheta) dottheta
Simplificando:
2a cos theta cdot ddottheta - 4a sin theta cdot dottheta^2 = 0
Isso nos dá uma relação entre ddottheta e dottheta^2, mas como queremos a força, vamos focar na componente radial Fr.

Passo 6

Agora, voltando à expressão para Fr:
Fr = m ( ddotr - r dottheta^2 )
Substituindo ddotr:
Fr = m ( -2a cos theta cdot dottheta^2 - 2a sin theta cdot ddottheta - 2a cos theta cdot dottheta^2 )
Simplificando:
Fr = m ( -4a cos theta cdot dottheta^2 - 2a sin theta cdot ddottheta )
Mas, da relação anterior, sabemos que 2a cos theta cdot ddottheta = 4a sin theta cdot dottheta^2, então substituindo:
Fr = m ( -4a cos theta cdot dottheta^2 - 4a sin^2 theta cdot dottheta^2 )
Fr = -4m a dottheta^2 (cos theta + sin^2 theta)

Passo 7

Para simplificar, notamos que cos theta + sin^2 theta = cos theta + 1 - cos^2 theta = 1 + cos theta - cos^2 theta.
No entanto, para uma força central, geralmente expressamos F(r) em termos de r. Sabemos que r = 2a cos theta, então podemos resolver para cos theta:
cos theta = r2a
Substituindo na expressão de Fr:
Fr = -4m a dottheta^2 ( r2a + 1 - (r2a)^2 )
Simplificando:
Fr = -4m a dottheta^2 ( r2a + 1 - r^24a^2 )
Fr = -4m a dottheta^2 ( r2a + 1 - r^24a^2 )

Passo 8

Finalmente, para expressar F(r) em termos de r, observamos que dottheta pode ser relacionado à velocidade angular e, dependendo das condições do problema, pode ser constante. Se assumirmos uma velocidade angular constante omega, então dottheta = omega, e a força torna-se:
F(r) = -4m a omega^2 ( r2a + 1 - r^24a^2 )
Podemos simplificar mais:
F(r) = -2m omega^2 r - 4m a omega^2 (1 - r^24a^2)

Resposta

A força F(r) relacionada à trajetória da partícula é:
F(r) = -4m a dottheta^2 ( r2a + 1 - r^24a^2 )
Onde:
  • m é a massa da partícula,
  • a é o raio da órbita,
  • r é a distância da partícula ao centro de força, e
  • dottheta é a velocidade angular da partícula.

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