1. Use polinômios interpoladores de Newton ou Lagrange (Graus 2 e 3) determinar Y em X=2,7. Calcule as diferenças divididas finitas e ordene seus pontos para obter acurácia e convergência ótimas; ou seja, os pontos devem ser concentrados em torno e tão próximo quanto possível do valor desconhecido.
X 0,0 1,0 2,5 3,0 4,5 5,0 6,0
Y 2,0000 5,4375 7,3516 7,2625 8,4453 9,1875 12,0000

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de quando usando polinômios interpoladores de Newton ou Lagrange, de grau 2 e 3. Para isso, vamos usar as diferenças divididas finitas e escolher os pontos mais próximos de para garantir que a nossa aproximação seja bem precisa. Vamos precisar entender um pouquinho sobre interpolação polinomial e como calcular essas diferenças divididas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os pontos que vamos usar para a interpolação. Como queremos |c|c| hline X & Y hline 1,0 & 5,4375 2,5 & 7,3516 3,0 & 7,2625 4,5 & 8,4453 hline , vamos selecionar os pontos mais próximos desse valor para garantir maior precisão. Olhando na tabela, os pontos mais próximos são:
Vamos usar esses quatro pontos para construir um polinômio de grau 3 (já que queremos até grau 3).

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas finitas necessárias para construir o polinômio de Newton. As diferenças divididas ajudam a determinar os coeficientes do polinômio. A tabela de diferenças fica assim:
|c|c|c|c|c| hline X & Y & 1ª Diferença & 2ª Diferença & 3ª Diferença hline 1,0 & 5,4375 & & & 2,5 & 7,3516 & 7,3516 - 5,43752,5 - 1,0 = 0,9563 & & 3,0 & 7,2625 & 7,2625 - 7,35163,0 - 2,5 = -0,1800 & -0,1800 - 0,95633,0 - 1,0 = -0,1131 & 4,5 & 8,4453 & 8,4453 - 7,26254,5 - 3,0 = 0,5975 & 0,5975 - (-0,1800)4,5 - 2,5 = 0,3880 & 0,3880 - (-0,1131)4,5 - 1,0 = 0,1254 hline ªçªçªç

Passo 4

Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio de Newton da forma:
P3(X) = Y0 + f[X0, X1](X - X0) + f[X0, X1, X2](X - X0)(X - X1) + f[X0, X1, X2, X3](X - X0)(X - X1)(X - X2)
Substituindo os valores:
P3(X) = 5,4375 + 0,9563(X - 1,0) - 0,1131(X - 1,0)(X - 2,5) + 0,1254(X - 1,0)(X - 2,5)(X - 3,0)

Passo 5

Agora, vamos substituir P3(2,7) = 5,4375 + 0,9563(2,7 - 1,0) - 0,1131(2,7 - 1,0)(2,7 - 2,5) + 0,1254(2,7 - 1,0)(2,7 - 2,5)(2,7 - 3,0) na equação do polinômio para encontrar P3(2,7) = 5,4375 + 0,9563(1,7) - 0,1131(1,7)(0,2) + 0,1254(1,7)(0,2)(-0,3) :
P3(2,7) = 5,4375 + 1,62531 - 0,03825 - 0,01268
Calculando cada termo:
P3(2,7) = 5,4375 + 1,62531 - 0,03825 - 0,01268 = 7,012 (aproximadamente)

Resposta

O valor aproximado de em é 7,012.

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2=R E G R E S S A ̃ O

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