Seja
tal que
Mostre que
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que está limitada entre duas expressões envolvendo
e
no intervalo
. O objetivo é mostrar que essa função
é contínua em
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade, além de aplicar o Teorema do Aperto (ou Teorema da Vergonha), que ajuda a determinar o limite de uma função limitada entre duas outras que têm o mesmo limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de 0 é igual ao valor de
. Ou seja,
Então, precisamos encontrar esse limite.
Passo 3
Vamos analisar as duas expressões que limitam o
:
Vamos calcular os limites dessas duas expressões quando
se aproxima de 0.
Passo 4
Primeiro, o limite de
quando
vai para 0:
Porque
.
Passo 5
Agora, o limite de
quando
vai para 0:
Pois
.
Passo 6
Agora que temos os limites das duas funções que limitam
, vemos que:
Isso significa que tanto o limite inferior quanto o limite superior de
são iguais a 0 quando
se aproxima de 0.
Passo 7
Pelo Teorema do Aperto (ou Teorema da Vergonha), se uma função
está sempre entre duas funções que têm o mesmo limite em um ponto, então o limite da
nesse ponto também é esse mesmo limite. Ou seja, como:
e ambos os limites inferiores e superiores são 0, então:
Passo 8
Para
ser contínua em
, precisamos que
seja igual a esse limite. Assumindo que
(o que geralmente é o caso nessas situações), então:
Portanto,
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em
porque, pelo Teorema do Aperto, o limite de
quando
tende a 0 é igual a 0, que é também o valor de
.
Exercícios relacionados
Defina limite lateral à direita e à esquerda de uma função real e ilustre estes conceitos graficamente.
Mostre que
Mostre que a equação
tem uma raiz real.
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta
é uma assíntota vertical.
(a) ( )