Seja tal que
Mostre que é contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que está limitada entre duas expressões envolvendo e no intervalo . O objetivo é mostrar que essa função é contínua em . Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade, além de aplicar o Teorema do Aperto (ou Teorema da Vergonha), que ajuda a determinar o limite de uma função limitada entre duas outras que têm o mesmo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de 0 é igual ao valor de . Ou seja,
Então, precisamos encontrar esse limite.

Passo 3

Vamos analisar as duas expressões que limitam o :
Vamos calcular os limites dessas duas expressões quando se aproxima de 0.

Passo 4

Primeiro, o limite de quando vai para 0:
Porque .

Passo 5

Agora, o limite de quando vai para 0:
Pois .

Passo 6

Agora que temos os limites das duas funções que limitam , vemos que:
Isso significa que tanto o limite inferior quanto o limite superior de são iguais a 0 quando se aproxima de 0.

Passo 7

Pelo Teorema do Aperto (ou Teorema da Vergonha), se uma função está sempre entre duas funções que têm o mesmo limite em um ponto, então o limite da nesse ponto também é esse mesmo limite. Ou seja, como:
e ambos os limites inferiores e superiores são 0, então:

Passo 8

Para ser contínua em , precisamos que seja igual a esse limite. Assumindo que (o que geralmente é o caso nessas situações), então:
Portanto, é contínua em .

Resposta

A função é contínua em porque, pelo Teorema do Aperto, o limite de quando tende a 0 é igual a 0, que é também o valor de .

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