Mostre que a equação
admite uma raiz em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos demonstrar que ela tem uma solução (ou raiz) dentro do intervalo
. Para isso, vamos utilizar o Teorema do Valor Intermediário, que faz parte do conteúdo de Cálculo de Funções Contínuas.
Passo 2
Vamos começar definindo uma função relacionada à equação dada. Seja
. Nosso objetivo é mostrar que existe um valor de
entre 1 e 2 que faz
.
Passo 3
O Teorema do Valor Intermediário nos diz que se uma função
é contínua em um intervalo
e toma valores de sinais opostos em
e
, então existe pelo menos um número
em
tal que
.
Passo 4
Precisamos verificar se
é contínua no intervalo
. A função
é um polinômio, e sabemos que polinômios são contínuos em todos os pontos do seu domínio. Portanto,
é contínua em
.
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores de
nos pontos finais do intervalo:
- Em
:
- Em
:
Passo 6
Observamos que
e
. Os sinais desses valores são opostos:
e
.
Passo 7
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário, já que
é contínua em
e muda de sinal nesse intervalo, existe pelo menos um número
em
tal que
.
Resposta
Portanto, a equação
admite uma raiz no intervalo
.
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