Mostre que a equação x^3 - x - 1 = 0 admite uma raiz em [1, 2].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos demonstrar que ela tem uma solução (ou raiz) dentro do intervalo . Para isso, vamos utilizar o Teorema do Valor Intermediário, que faz parte do conteúdo de Cálculo de Funções Contínuas.

Passo 2

Vamos começar definindo uma função relacionada à equação dada. Seja . Nosso objetivo é mostrar que existe um valor de entre 1 e 2 que faz .

Passo 3

O Teorema do Valor Intermediário nos diz que se uma função é contínua em um intervalo e toma valores de sinais opostos em e , então existe pelo menos um número em tal que .

Passo 4

Precisamos verificar se é contínua no intervalo . A função é um polinômio, e sabemos que polinômios são contínuos em todos os pontos do seu domínio. Portanto, é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores de nos pontos finais do intervalo:
  • Em :
  • Em :

Passo 6

Observamos que e . Os sinais desses valores são opostos: e .

Passo 7

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário, já que é contínua em e muda de sinal nesse intervalo, existe pelo menos um número em tal que .

Resposta

Portanto, a equação admite uma raiz no intervalo .

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