Mostre que a equação x^2-2 y^2-6 x+8 y-1=0 representa uma hipérbole. Determine seu centro.

Passo 1

Neste exercício, precisamos mostrar que a equação representa uma hipérbole. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente a identificação de conicidades através da análise da equação geral. Para resolver, vamos completar os quadrados das variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x^2 - 6x - 2y^2 + 8y = 1 e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 . Para isso, pegamos os coeficientes de :
Explicando: expande para , então subtraímos 9 para manter a equivalência.

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos de -2y^2 + 8y = -2(y^2 - 4y) = -2[(y - 2)^2 - 4] = -2(y - 2)^2 + 8 , lembrando que o coeficiente de é :
Explicando: expande para , então subtraímos 4 dentro do parenteses e multiplicamos por .

Passo 5

Substituímos os quadrados completos na equação original:
(x - 3)^2 - 9 - 2(y - 2)^2 + 8 = 1
Simplificando os termos constantes:
(x - 3)^2 - 2(y - 2)^2 - 1 = 1

Passo 6

Isolamos os termos com (x - 3)^2 - 2(y - 2)^2 = 2 e :

Passo 7

Dividimos toda a equação por 2 para chegar à forma padrão da hipérbole:
(x - 3)^22 - (y - 2)^21 = 1

Resposta

A equação representa uma hipérbole com centro no ponto .

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