Sejam
e
subgrupos normais de
, e
subgrupo de
: Utilizando o Teorema do Isomorfismo, vamos provar que
Lembre que
e que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo
e dois subgrupos normais
e
, sendo que
está dentro de
. A gente quer provar que
é isomorfo a
. Para isso, vamos usar o Teorema do Isomorfismo, que nos ajuda a relacionar diferentes estruturas de grupos através de mapeamentos que mantêm a estrutura do grupo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subgrupo normal. Um subgrupo
de
é normal se, para todo elemento
em
, o conjugado
. Isso é importante porque garante que os quocientes
sejam de fato grupos.
Passo 3
Agora, vamos pensar nos quocientes
e
. O quociente
consiste nas classes laterais
para cada
em
. Da mesma forma,
tem as classes laterais
.
Passo 4
A próxima etapa é considerar o quociente
. Aqui, a gente pega as classes laterais de
e “modula” pelo quociente
. Isso significa que duas classes
e
em
estarão na mesma classe em
se
e
estiverem na mesma classe em
.
Passo 5
Vamos definir um mapeamento
que envia cada classe
para a classe correspondente
em
. Basicamente, estamos pegando uma classe em
e associando a ela uma classe em
.
Passo 6
Precisamos mostrar que esse mapeamento
é bem definido, injetor e sobrejetor, ou seja, que ele é um isomorfismo.
- Bem definido: Se
, então porque contém . - Injetor: Se
, então , o que implica . - Sobrejetor: Para toda classe em
, existe uma classe correspondente em .
Passo 7
Como
é um mapeamento bijetor que preserva a operação de grupo, pela definição do Teorema do Isomorfismo, podemos concluir que os grupos
e
são isomorfos.
Resposta
Portanto, provamos que
Exercícios relacionados
Seja
Demonstrar que as funções:
Conformam uma base de .
Demonstrar que as funções:
Conformam uma base de
Verificar se o vetor
pertence aos conjunto imagem de
, sendo
Mostre que a equação
representa uma hipérbole. Determine seu centro.
Se
e
são matrizes de ordem
, qual das seguintes operações não pode ser efetuada?