Sejam H e K subgrupos normais de G, e K subgrupo de H : Utilizando o Teorema do Isomorfismo, vamos provar que
GH cong GKHK
Lembre que GH=H x: x in G e que H x=H y Leftrightarrow x y^-1 in H.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo e dois subgrupos normais e , sendo que está dentro de . A gente quer provar que é isomorfo a . Para isso, vamos usar o Teorema do Isomorfismo, que nos ajuda a relacionar diferentes estruturas de grupos através de mapeamentos que mantêm a estrutura do grupo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subgrupo normal. Um subgrupo de é normal se, para todo elemento em , o conjugado . Isso é importante porque garante que os quocientes sejam de fato grupos.

Passo 3

Agora, vamos pensar nos quocientes e . O quociente consiste nas classes laterais para cada em . Da mesma forma, tem as classes laterais .

Passo 4

A próxima etapa é considerar o quociente . Aqui, a gente pega as classes laterais de e “modula” pelo quociente . Isso significa que duas classes e em estarão na mesma classe em se e estiverem na mesma classe em .

Passo 5

Vamos definir um mapeamento que envia cada classe para a classe correspondente em . Basicamente, estamos pegando uma classe em e associando a ela uma classe em .

Passo 6

Precisamos mostrar que esse mapeamento é bem definido, injetor e sobrejetor, ou seja, que ele é um isomorfismo.
  • Bem definido: Se , então porque contém .
  • Injetor: Se , então , o que implica .
  • Sobrejetor: Para toda classe em , existe uma classe correspondente em .

Passo 7

Como é um mapeamento bijetor que preserva a operação de grupo, pela definição do Teorema do Isomorfismo, podemos concluir que os grupos e são isomorfos.

Resposta

Portanto, provamos que
GH cong GKHK

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