Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
u_xx + u_yy = 0 ; u(x, y) = ln(x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a equação diferencial dada é ordinária ou parcial e se a função fornecida resolve essa equação. Usaremos conceitos de equações diferenciais parciais e vamos precisar calcular derivadas parciais da função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando. A equação é . Como ela envolve derivadas em relação a mais de uma variável (x e y), ela é uma equação diferencial parcial.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é uma solução dessa equação. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e .

Passo 4

Calculando a primeira derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, calculando a segunda derivada parcial de em relação a :

Passo 6

De forma semelhante, calculamos a segunda derivada parcial de em relação a :

Passo 7

Agora, somamos as segundas derivadas parciais:

Resposta

A equação diferencial é uma equação diferencial parcial e a função é, de fato, uma solução dessa equação.

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