Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a equação diferencial dada é ordinária ou parcial e se a função fornecida resolve essa equação. Usaremos conceitos de equações diferenciais parciais e vamos precisar calcular derivadas parciais da função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando. A equação é
. Como ela envolve derivadas em relação a mais de uma variável (x e y), ela é uma equação diferencial parcial.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
é uma solução dessa equação. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 4
Calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, calculando a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
De forma semelhante, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Passo 7
Agora, somamos as segundas derivadas parciais:
Resposta
A equação diferencial
é uma equação diferencial parcial e a função
é, de fato, uma solução dessa equação.
Exercícios relacionados
Sejam
e
definida por
. Calcule
Seja
a região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Calcule o volume de .
Calcule o volume de
Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
.
Mostre que a equação
é homogênea e determine a solução geral da equação.