Mostre que o espaço P de todos os polinômios é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o espaço de todos os polinômios é um espaço vetorial. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que ele deve satisfazer. Vamos verificar uma por uma essas propriedades para o conjunto dos polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, polinômios) onde a gente pode fazer duas operações: adição e multiplicação por escalar. Essas operações precisam seguir algumas regras, chamadas de axiomas, como associatividade, comutatividade, existência de um elemento neutro, entre outros.

Passo 3

Vamos começar verificando se a adição de dois polinômios resulta em outro polinômio. Seja e dois polinômios quaisquer. A soma também é um polinômio, já que somar os coeficientes de e em cada potência de resulta em um novo polinômio. Isso confirma o fechamento sob adição.

Passo 4

Agora, vamos ver a fechamento sob multiplicação por escalar. Seja um escalar (um número real, por exemplo) e um polinômio. A multiplicação é também um polinômio, pois multiplicar cada coeficiente de por preserva a estrutura do polinômio. Então, está fechado sob essa operação também.

Passo 5

Vamos conferir a existência do elemento neutro para a adição. O polinômio zero, , atua como elemento neutro porque, para qualquer polinômio , temos . Isso mostra que o elemento neutro está presente no conjunto.

Passo 6

Também precisamos verificar a existência de inversos aditivos. Para cada polinômio , existe um polinômio tal que . Isso garante que cada elemento tem seu inverso dentro do conjunto.

Passo 7

Além disso, as operações de adição e multiplicação por escalar devem ser associativas e comutativas, e devem respeitar a distributividade. Ou seja:
Todas essas propriedades são verdadeiras para os polinômios, pois as operações de soma e multiplicação de números reais são associativas e comutativas, e distribuem conforme esperado.

Resposta

Assim, verificamos que o conjunto de todos os polinômios satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial. Portanto, o espaço de todos os polinômios é, de fato, um espaço vetorial.

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