Mostre que o espaço
de todos os polinômios é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o espaço
de todos os polinômios é um espaço vetorial. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que ele deve satisfazer. Vamos verificar uma por uma essas propriedades para o conjunto dos polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, polinômios) onde a gente pode fazer duas operações: adição e multiplicação por escalar. Essas operações precisam seguir algumas regras, chamadas de axiomas, como associatividade, comutatividade, existência de um elemento neutro, entre outros.
Passo 3
Vamos começar verificando se a adição de dois polinômios resulta em outro polinômio. Seja
e
dois polinômios quaisquer. A soma
também é um polinômio, já que somar os coeficientes de
e
em cada potência de
resulta em um novo polinômio. Isso confirma o fechamento sob adição.
Passo 4
Agora, vamos ver a fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
um escalar (um número real, por exemplo) e
um polinômio. A multiplicação
é também um polinômio, pois multiplicar cada coeficiente de
por
preserva a estrutura do polinômio. Então, está fechado sob essa operação também.
Passo 5
Vamos conferir a existência do elemento neutro para a adição. O polinômio zero,
, atua como elemento neutro porque, para qualquer polinômio
, temos
. Isso mostra que o elemento neutro está presente no conjunto.
Passo 6
Também precisamos verificar a existência de inversos aditivos. Para cada polinômio
, existe um polinômio
tal que
. Isso garante que cada elemento tem seu inverso dentro do conjunto.
Passo 7
Além disso, as operações de adição e multiplicação por escalar devem ser associativas e comutativas, e devem respeitar a distributividade. Ou seja:
Todas essas propriedades são verdadeiras para os polinômios, pois as operações de soma e multiplicação de números reais são associativas e comutativas, e distribuem conforme esperado.
Resposta
Assim, verificamos que o conjunto de todos os polinômios
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial. Portanto, o espaço
de todos os polinômios é, de fato, um espaço vetorial.