Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto
de matrizes
com entradas reais, onde cada matriz satisfaz a condição
. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto
é um subespaço de
, que é o espaço de todas as matrizes
com entradas reais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as três condições que um subconjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço:
- Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar em
. - Fechado sob adição: Se duas matrizes estão em
, a soma delas também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se uma matriz está em
, qualquer múltiplo dela por um número real também deve estar em .
Vamos verificar essas três condições uma por uma para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
A matriz zero em
é:
Vamos verificar se essa matriz está em
. Calculando
para a matriz zero:
Como
, a matriz zero pertence a
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos considerar duas matrizes quaisquer em
:
Sabemos que para ambas
e
, temos
e
.
Agora, somamos
e
:
Vamos verificar a condição $ (a + a’)(d + d’) - (b + b’)(c + c’) $:
Notamos que nem sempre esse resultado será zero. Isso significa que a soma
pode não satisfazer a condição
. Portanto,
não está fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos identificado que
não é um subespaço por não estar fechado sob adição, vamos verificar essa última condição para completar.
Seja
e
um número real. Multiplicamos
por
:
Vamos verificar a condição $ (ka)(kd) - (kb)(kc) $:
Como
satisfaz
, o conjunto
está fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
porque, embora contenha a matriz zero e seja fechado sob multiplicação por escalar, não está fechado sob adição.