Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2).
S=[lla & b c & d] ; a, b, c, d in R e a d-b c=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto S de matrizes 2 times 2 com entradas reais, onde cada matriz satisfaz a condição ad - bc = 0. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto S é um subespaço de M(2,2), que é o espaço de todas as matrizes 2 times 2 com entradas reais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as três condições que um subconjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar em S.
  2. Fechado sob adição: Se duas matrizes estão em S, a soma delas também deve estar em S.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se uma matriz está em S, qualquer múltiplo dela por um número real também deve estar em S.
Vamos verificar essas três condições uma por uma para o conjunto S.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
A matriz zero em M(2,2) é:
0 = 0 & 0 0 & 0
Vamos verificar se essa matriz está em S. Calculando ad - bc para a matriz zero:
a = 0, , b = 0, , c = 0, , d = 0 ad - bc = (0)(0) - (0)(0) = 0 - 0 = 0
Como ad - bc = 0, a matriz zero pertence a S. Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos considerar duas matrizes quaisquer em S:
A = a & b c & d , B = a' & b' c' & d'
Sabemos que para ambas A e B, temos ad - bc = 0 e a'd' - b'c' = 0.
Agora, somamos A e B:
A + B = a + a' & b + b' c + c' & d + d'
Vamos verificar a condição $ (a + a’)(d + d’) - (b + b’)(c + c’) $:
(a + a')(d + d') - (b + b')(c + c')
Notamos que nem sempre esse resultado será zero. Isso significa que a soma (a + a')(d + d') - (b + b')(c + c') &= ad + a d' + a' d + a' d' - bc - b c' - b' c - b' c' &= (ad - bc) + a d' + a' d - b c' - b' c + a' d' - b' c' &= 0 + a d' + a' d - b c' - b' c + a' d' - b' c' pode não satisfazer a condição A + B. Portanto, ad - bc = 0 não está fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos identificado que S não é um subespaço por não estar fechado sob adição, vamos verificar essa última condição para completar.
Seja A = a & b c & d in S e k um número real. Multiplicamos A por k:
kA = ka & kb kc & kd
Vamos verificar a condição $ (ka)(kd) - (kb)(kc) $:
(ka)(kd) - (kb)(kc)
Como ka cdot kd - kb cdot kc &= k^2 ad - k^2 bc &= k^2 (ad - bc) &= k^2 cdot 0 &= 0 satisfaz kA, o conjunto ad - bc = 0 está fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto S não é um subespaço de M(2,2) porque, embora contenha a matriz zero e seja fechado sob multiplicação por escalar, não está fechado sob adição.

Exercícios relacionados