Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de matrizes com entradas reais, onde cada matriz satisfaz a condição . Nosso objetivo é verificar se esse conjunto é um subespaço de , que é o espaço de todas as matrizes com entradas reais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as três condições que um subconjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço:
Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar em .
Fechado sob adição: Se duas matrizes estão em , a soma delas também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se uma matriz está em , qualquer múltiplo dela por um número real também deve estar em .
Vamos verificar essas três condições uma por uma para o conjunto .
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
A matriz zero em é:
Vamos verificar se essa matriz está em . Calculando para a matriz zero:
Como , a matriz zero pertence a . Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos considerar duas matrizes quaisquer em :
Sabemos que para ambas e , temos e .
Agora, somamos e :
Vamos verificar a condição $ (a + a’)(d + d’) - (b + b’)(c + c’) $:
Notamos que nem sempre esse resultado será zero. Isso significa que a soma pode não satisfazer a condição . Portanto, não está fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos identificado que não é um subespaço por não estar fechado sob adição, vamos verificar essa última condição para completar.
Seja e um número real. Multiplicamos por :
Vamos verificar a condição $ (ka)(kd) - (kb)(kc) $:
Como satisfaz , o conjunto está fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto não é um subespaço de porque, embora contenha a matriz zero e seja fechado sob multiplicação por escalar, não está fechado sob adição.