(Valor 2,5) Encontrc o ponto A que ć a intcrsç̧ão cntre as retas r:lx=1+2 t y=3+4 t z=1-2 t c s:lx=3 lambda y=1+2 lambda z=2+lambda . Alćm disso, determine as equações da reta que contém os pontos A e (2,-1,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto que é a interseção das retas e . Depois, vamos determinar as equações da reta que passa por e pelo ponto .
Matéria envolvida: Equações paramétricas de retas no espaço e interseção de retas.
O que precisamos usar:
  • Igualar as equações paramétricas das retas para encontrar .
  • Utilizar a fórmula da reta que passa por dois pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das retas x = 1 + 2t y = 3 + 4t z = 1 - 2t e x = 3lambda y = 1 + 2lambda z = 2 + lambda :
Para a reta :
Para a reta :
Aqui, e são os parâmetros das retas.

Passo 3

Para encontrar o ponto de interseção 1 + 2t = 3lambda 3 + 4t = 1 + 2lambda 1 - 2t = 2 + lambda , precisamos encontrar valores de e que satisfaçam as três equações simultaneamente. Ou seja, devemos igualar as coordenadas , e de ambas as retas:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Começamos com a primeira equação:
1 + 2t = 3lambda Rightarrow lambda = 1 + 2t3
Agora, substituímos 3 + 4t = 1 + 2( 1 + 2t3 ) 3 + 4t = 1 + 2 + 4t3 Mu na segunda equação:

Passo 5

Com lambda = 1 + 2(-12)3 = 1 - 13 = 0 , encontramos :

Passo 6

Agora, substituímos x = 1 + 2(-12) = 1 - 1 = 0 y = 3 + 4(-12) = 3 - 2 = 1 z = 1 - 2(-12) = 1 + 1 = 2 na equação da reta para encontrar as coordenadas do ponto :
Então, o ponto é .

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos AB = B - A = (2 - 0, -1 - 1, 4 - 2) = (2, -2, 2) e .
Para isso, usamos a fórmula da reta que passa por dois pontos no espaço:

Passo 8

Com o vetor diretor x = 0 + 2s = 2s y = 1 - 2s z = 2 + 2s e sabendo que a reta passa por , podemos escrever as equações paramétricas da reta :
Onde é o parâmetro da reta .

Resposta

O ponto x = 2s y = 1 - 2s z = 2 + 2s de interseção das retas e é . As equações da reta que passa por e são:

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