(Valor 2,5) Encontrc o ponto que ć a intcrsç̧ão cntre as retas c s:lx=3 lambda y=1+2 lambda z=2+lambda . Alćm disso, determine as equações da reta que contém os pontos A e (2,-1,4).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto que é a interseção das retas e . Depois, vamos determinar as equações da reta que passa por e pelo ponto .
Matéria envolvida: Equações paramétricas de retas no espaço e interseção de retas.
O que precisamos usar:
Igualar as equações paramétricas das retas para encontrar .
Utilizar a fórmula da reta que passa por dois pontos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das retas x = 1 + 2t y = 3 + 4t z = 1 - 2t e x = 3lambda y = 1 + 2lambda z = 2 + lambda :
Para a reta :
Para a reta :
Aqui, e são os parâmetros das retas.
Passo 3
Para encontrar o ponto de interseção 1 + 2t = 3lambda 3 + 4t = 1 + 2lambda 1 - 2t = 2 + lambda , precisamos encontrar valores de e que satisfaçam as três equações simultaneamente. Ou seja, devemos igualar as coordenadas , e de ambas as retas:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Começamos com a primeira equação:
1 + 2t = 3lambda Rightarrow lambda = 1 + 2t3
Agora, substituímos 3 + 4t = 1 + 2( 1 + 2t3 ) 3 + 4t = 1 + 2 + 4t3 Mu na segunda equação: