(Valor 2,5) Encontrc o ponto que ć a intcrsç̧ão cntre as retas c . Alćm disso, determine as equações da reta que contém os pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto que é a interseção das retas e . Depois, vamos determinar as equações da reta que passa por e pelo ponto .
Matéria envolvida: Equações paramétricas de retas no espaço e interseção de retas.
O que precisamos usar:
Igualar as equações paramétricas das retas para encontrar .
Utilizar a fórmula da reta que passa por dois pontos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das retas e :
Para a reta :
Para a reta :
Aqui, e são os parâmetros das retas.
Passo 3
Para encontrar o ponto de interseção , precisamos encontrar valores de e que satisfaçam as três equações simultaneamente. Ou seja, devemos igualar as coordenadas , e de ambas as retas:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Começamos com a primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Passo 5
Com , encontramos :
Passo 6
Agora, substituímos na equação da reta para encontrar as coordenadas do ponto :
Então, o ponto é .
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos e .
Para isso, usamos a fórmula da reta que passa por dois pontos no espaço:
Passo 8
Com o vetor diretor e sabendo que a reta passa por , podemos escrever as equações paramétricas da reta :
Onde é o parâmetro da reta .
Resposta
O ponto de interseção das retas e é . As equações da reta que passa por e são: