Sejam e conjuntos. Mostre que a família é um conjunto.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos, e , e queremos mostrar que a família também é um conjunto. Aqui, representa o conjunto de todas as funções de para . Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como conjuntos de partes e produtos cartesianos.

Passo 2

Vamos começar lembrando que uma função de para é uma regra que associa cada elemento de a exatamente um elemento de . A família é, portanto, o conjunto de todas essas possíveis funções.

Passo 3

Para mostrar que é um conjunto, vamos usar o conceito de produto cartesiano. O produto cartesiano de e , denotado por , é o conjunto de todos os pares ordenados onde e .

Passo 4

Agora, observe que uma função de para pode ser vista como um subconjunto do produto cartesiano que satisfaz duas condições:
  1. Cada aparece exatamente uma vez na primeira posição dos pares.
  2. Cada par está relacionado a um único .

Passo 5

O próximo passo é lembrar que o conjunto de partes de , denotado por , é o conjunto de todos os subconjuntos de . Sabemos que é um conjunto porque, segundo os axiomas da teoria dos conjuntos, para qualquer conjunto , o conjunto de partes também é um conjunto.

Passo 6

Como vimos, cada função de para é um subconjunto de que satisfaz certas condições específicas. Portanto, é um subconjunto de .

Passo 7

Finalmente, como é um conjunto e é um subconjunto dele, concluímos que também é um conjunto. Isso segue do axioma da restrição, que afirma que qualquer subconjunto de um conjunto é também um conjunto.

Resposta

Portanto, a família é um conjunto.

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