Sejam
e
conjuntos. Mostre que a família
é um conjunto.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos,
e
, e queremos mostrar que a família
também é um conjunto. Aqui,
representa o conjunto de todas as funções de
para
. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como conjuntos de partes e produtos cartesianos.
Passo 2
Vamos começar lembrando que uma função de
para
é uma regra que associa cada elemento de
a exatamente um elemento de
. A família
é, portanto, o conjunto de todas essas possíveis funções.
Passo 3
Para mostrar que
é um conjunto, vamos usar o conceito de produto cartesiano. O produto cartesiano de
e
, denotado por
, é o conjunto de todos os pares ordenados
onde
e
.
Passo 4
Agora, observe que uma função de
para
pode ser vista como um subconjunto do produto cartesiano
que satisfaz duas condições:
- Cada
aparece exatamente uma vez na primeira posição dos pares. - Cada par está relacionado a um único
.
Passo 5
O próximo passo é lembrar que o conjunto de partes de
, denotado por
, é o conjunto de todos os subconjuntos de
. Sabemos que
é um conjunto porque, segundo os axiomas da teoria dos conjuntos, para qualquer conjunto
, o conjunto de partes
também é um conjunto.
Passo 6
Como vimos, cada função de
para
é um subconjunto de
que satisfaz certas condições específicas. Portanto,
é um subconjunto de
.
Passo 7
Finalmente, como
é um conjunto e
é um subconjunto dele, concluímos que
também é um conjunto. Isso segue do axioma da restrição, que afirma que qualquer subconjunto de um conjunto é também um conjunto.
Resposta
Portanto, a família
é um conjunto.
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Prove que a união de todas as retas que passam por um ponto
é o plano.
Sejam
e
conjuntos. Use o axioma
para mostrar que
é um conjunto.
Sejam
e
conjuntos. Mostre que
.
Mostre, exibindo um contra-exemplo, que a união de convexos pode não ser um convexo.