Sejam A, B e C conjuntos. Mostre que A^C cup B^C subseteq(A cup B)^C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três conjuntos , e . A questão quer que a gente mostre que . Aqui, significa o complemento de , ou seja, todos os elementos que não estão em . O conteúdo envolve teoria dos conjuntos, especificamente operações com complementos e uniões. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um complemento de conjunto e como funcionam as inclusões entre conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são os complementos dos conjuntos. Se A^C = x in U mid x nexists A é um conjunto dentro de um universo , então o complemento de , escrito como , é o conjunto de todos os elementos de que não estão em . Ou seja:
O mesmo vale para .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa a união A^C cup B^C = x in U mid x nexists A ou x nexists B . A união de dois conjuntos inclui todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos. Portanto:
(A cup B)^C = x in U mid x nexists A e x nexists B
E o que é ? É o complemento da união de e , ou seja, todos os elementos que não estão em :

Passo 4

A questão quer que a gente mostre que todo elemento de também está em . Em termos de conjunto, isso significa que se pegarmos um elemento que está em , ele deve necessariamente estar em .

Passo 5

Vamos tentar entender isso passo a passo. Seja um elemento qualquer de . Isso significa que ou não está em ou não está em :
  • Se , então ele não está em .
  • Se , então ele não está em .
Porém, para que esteja em , ele não deve estar em nenhum dos dois conjuntos, ou seja, e .

Passo 6

Aqui encontramos uma pequena contradição. Se está apenas em ou apenas em , não necessariamente ele está em ambos. Ou seja, pode não estar em ou pode não estar em , mas não necessariamente em ambos.

Passo 7

Para ilustrar isso, vamos usar um contraponto com um exemplo:
  • Seja , e .
  • Então, e .
  • A união (ou seja, todo o universo ).
  • , então .
Nesse caso, não está contido em , já que contém mais elementos além de .

Resposta

Com esse exemplo, vimos que não está necessariamente contido em . Portanto, a afirmação não é verdadeira em geral.

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