Sejam
e
conjuntos. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três conjuntos
,
e
. A questão quer que a gente mostre que
. Aqui,
significa o complemento de
, ou seja, todos os elementos que não estão em
. O conteúdo envolve teoria dos conjuntos, especificamente operações com complementos e uniões. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um complemento de conjunto e como funcionam as inclusões entre conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são os complementos dos conjuntos. Se
é um conjunto dentro de um universo
, então o complemento de
, escrito como
, é o conjunto de todos os elementos de
que não estão em
. Ou seja:
O mesmo vale para
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa a união
. A união de dois conjuntos inclui todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos. Portanto:
E o que é
? É o complemento da união de
e
, ou seja, todos os elementos que não estão em
:
Passo 4
A questão quer que a gente mostre que todo elemento de
também está em
. Em termos de conjunto, isso significa que se pegarmos um elemento que está em
, ele deve necessariamente estar em
.
Passo 5
Vamos tentar entender isso passo a passo. Seja
um elemento qualquer de
. Isso significa que ou
não está em
ou
não está em
:
- Se
, então ele não está em . - Se
, então ele não está em .
Porém, para que
esteja em
, ele não deve estar em nenhum dos dois conjuntos, ou seja,
e
.
Passo 6
Aqui encontramos uma pequena contradição. Se
está apenas em
ou apenas em
, não necessariamente ele está em ambos. Ou seja,
pode não estar em
ou pode não estar em
, mas não necessariamente em ambos.
Passo 7
Para ilustrar isso, vamos usar um contraponto com um exemplo:
- Seja
, e . - Então,
e . - A união
(ou seja, todo o universo ). - Já
, então .
Nesse caso,
não está contido em
, já que
contém mais elementos além de
.
Resposta
Com esse exemplo, vimos que
não está necessariamente contido em
. Portanto, a afirmação
não é verdadeira em geral.
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Sejam
e
conjuntos. Mostre que
.