Verifique se os conjuntos abaixo são subanéis de (Q,+,.$) com as operações usuais. ) com as operações usuais

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo
Vamos verificar se o conjunto é um subanel de com as operações usuais de adição e multiplicação. Para isso, vamos utilizar conceitos de teoria de anéis, especificamente as condições necessárias para que um subconjunto seja considerado um subanel. Precisamos verificar se o conjunto é não vazio, está fechado sob adição, subtração e multiplicação.

Passo 2

Verificando se o Conjunto é Não Vazio
Primeiro, vamos confirmar que o conjunto não está vazio. Tomemos 0 + 15 times 0 = 0 e :
Como , o conjunto contém pelo menos o elemento zero. Portanto, o conjunto não está vazio.

Passo 3

Verificando a Fechadura sobre a Adição
Vamos verificar se, ao adicionar dois elementos quaisquer do conjunto, o resultado também pertence ao conjunto.
Sejam a + b = (m1 + m2) + 15(n1 + n2) e , onde .
Então:
Como e são inteiros, pertence ao conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Verificando a Fechadura sobre a Subtração
Agora, vamos verificar se a subtração de dois elementos do conjunto também pertence ao conjunto.
Considerando os mesmos a - b = (m1 - m2) + 15(n1 - n2) e acima:
Novamente, e são inteiros, então está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob subtração.

Passo 5

Verificando a Fechadura sobre a Multiplicação
Vamos verificar se a multiplicação de dois elementos do conjunto está também no conjunto.
Sejam novamente a cdot b = (m1 + 15n1)(m2 + 15n2) = m1m2 + 15(m1n2 + m2n1) + 125n1n2 e :
Observe que o termo não está na forma , a menos que seja múltiplo de 5, o que não é garantido para quaisquer inteiros e . Portanto, o produto pode não pertencer ao conjunto.

Resposta

Como o conjunto não é fechado sob multiplicação, ele não é um subanel de .

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