Verifique se os conjuntos abaixo são subanéis de
.$) com as operações usuais.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo
Vamos verificar se o conjunto
é um subanel de
com as operações usuais de adição e multiplicação. Para isso, vamos utilizar conceitos de teoria de anéis, especificamente as condições necessárias para que um subconjunto seja considerado um subanel. Precisamos verificar se o conjunto é não vazio, está fechado sob adição, subtração e multiplicação.
Passo 2
Verificando se o Conjunto é Não Vazio
Primeiro, vamos confirmar que o conjunto não está vazio. Tomemos
e
:
Como
, o conjunto contém pelo menos o elemento zero. Portanto, o conjunto não está vazio.
Passo 3
Verificando a Fechadura sobre a Adição
Vamos verificar se, ao adicionar dois elementos quaisquer do conjunto, o resultado também pertence ao conjunto.
Sejam
e
, onde
.
Então:
Como
e
são inteiros,
pertence ao conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Verificando a Fechadura sobre a Subtração
Agora, vamos verificar se a subtração de dois elementos do conjunto também pertence ao conjunto.
Considerando os mesmos
e
acima:
Novamente,
e
são inteiros, então
está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob subtração.
Passo 5
Verificando a Fechadura sobre a Multiplicação
Vamos verificar se a multiplicação de dois elementos do conjunto está também no conjunto.
Sejam novamente
e
:
Observe que o termo
não está na forma
, a menos que
seja múltiplo de 5, o que não é garantido para quaisquer inteiros
e
. Portanto, o produto
pode não pertencer ao conjunto.
Resposta
Como o conjunto
não é fechado sob multiplicação, ele não é um subanel de
.