Suponha que exista
tal que
para
. Prove que
desde que o limite exista.
Passo 1
Vamos entender o que a questão nos pede. Estamos trabalhando com limites à direita de uma função. A matéria envolve noções de limites e desigualdades. Precisamos provar que, se existe um intervalo à direita de
onde
, então o limite de
, quando
se aproxima de
pela direita, também será maior ou igual a zero, desde que esse limite exista.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função pela direita. Dizer que
significa que, à medida que
se aproxima de
vindo de valores maiores que
,
se aproxima de
.
Passo 3
Sabemos que, para todo
no intervalo
, temos que
. Ou seja, todos os valores de
nessa região são não-negativos.
Passo 4
Como
para
, isso implica que os valores de
estão sempre acima ou igual a zero nesse intervalo.
Passo 5
Quando tomamos o limite de
à medida que
se aproxima de
pela direita, estamos observando os valores de
que estão não-negativos e se aproximando de algum valor
.
Passo 6
Como todos os
neste intervalo, o limite
também não pode ser menor que zero. Caso contrário, haveria valores de
negativos próximos a
, o que contradiz nossa hipótese.
Passo 7
Portanto, concluímos que