Suponha que exista tal que para . Prove que desde que o limite exista.
Passo 1
Vamos entender o que a questão nos pede. Estamos trabalhando com limites à direita de uma função. A matéria envolve noções de limites e desigualdades. Precisamos provar que, se existe um intervalo à direita de onde , então o limite de , quando se aproxima de pela direita, também será maior ou igual a zero, desde que esse limite exista.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função pela direita. Dizer que
significa que, à medida que se aproxima de vindo de valores maiores que , se aproxima de .
Passo 3
Sabemos que, para todo no intervalo , temos que . Ou seja, todos os valores de nessa região são não-negativos.
Passo 4
Como para , isso implica que os valores de estão sempre acima ou igual a zero nesse intervalo.
Passo 5
Quando tomamos o limite de à medida que se aproxima de pela direita, estamos observando os valores de que estão não-negativos e se aproximando de algum valor .
Passo 6
Como todos os neste intervalo, o limite também não pode ser menor que zero. Caso contrário, haveria valores de negativos próximos a , o que contradiz nossa hipótese.