Suponha que exista tal que para . Prove que desde que o limite exista.

Passo 1

Vamos entender o que a questão nos pede. Estamos trabalhando com limites à direita de uma função. A matéria envolve noções de limites e desigualdades. Precisamos provar que, se existe um intervalo à direita de onde , então o limite de , quando se aproxima de pela direita, também será maior ou igual a zero, desde que esse limite exista.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função pela direita. Dizer que
significa que, à medida que se aproxima de vindo de valores maiores que , se aproxima de .

Passo 3

Sabemos que, para todo no intervalo , temos que . Ou seja, todos os valores de nessa região são não-negativos.

Passo 4

Como para , isso implica que os valores de estão sempre acima ou igual a zero nesse intervalo.

Passo 5

Quando tomamos o limite de à medida que se aproxima de pela direita, estamos observando os valores de que estão não-negativos e se aproximando de algum valor .

Passo 6

Como todos os neste intervalo, o limite também não pode ser menor que zero. Caso contrário, haveria valores de negativos próximos a , o que contradiz nossa hipótese.

Passo 7

Portanto, concluímos que

Resposta

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onde é a função do item
.
Sugestão: Para : e
b) Mostre que existe tal que