Represente graficamente os conjuntos dos pontos z em C que satisfazem: |z - 4| > |z|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que representar no plano complexo todos os pontos que satisfazem a desigualdade . Isso envolve conceitos de geometria no plano complexo, mais especificamente sobre como medir distâncias entre pontos. Vamos precisar entender o que significa o módulo de um número complexo e como isso se relaciona com a distância no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da desigualdade representa. O módulo de um número complexo, como , nos dá a distância desse ponto até a origem (0 no plano complexo). Já é a distância do ponto até o ponto 4, que está no eixo real, no ponto (4,0).

Passo 3

Agora, vamos simplificar a desigualdade . Para facilitar, vamos representar como , onde é a parte real e é a parte imaginária. Assim, nossa desigualdade fica:

Passo 4

Para resolver essa desigualdade, vamos eliminar as raízes quadradas. Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
Simplificando, os termos se cancelam:
Expandindo o termo :
Agora, subtraindo de ambos os lados:
Resolvendo para :

Passo 5

Então, descobrimos que . Isso significa que todos os pontos no plano complexo que têm a parte real menor que 2 satisfazem a desigualdade . Geometricamente, isso corresponde a todos os pontos à esquerda da linha vertical que passa por .

Resposta

A representação gráfica é o conjunto de todos os pontos no plano complexo onde a parte real é menor que 2. Ou seja, todos os pontos à esquerda da reta vertical .

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