Represente graficamente os conjuntos dos pontos
que satisfazem:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que representar no plano complexo todos os pontos
que satisfazem a desigualdade
. Isso envolve conceitos de geometria no plano complexo, mais especificamente sobre como medir distâncias entre pontos. Vamos precisar entender o que significa o módulo de um número complexo e como isso se relaciona com a distância no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da desigualdade representa. O módulo de um número complexo, como
, nos dá a distância desse ponto
até a origem (0 no plano complexo). Já
é a distância do ponto
até o ponto 4, que está no eixo real, no ponto (4,0).
Passo 3
Agora, vamos simplificar a desigualdade
. Para facilitar, vamos representar
como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Assim, nossa desigualdade fica:
Passo 4
Para resolver essa desigualdade, vamos eliminar as raízes quadradas. Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
Simplificando, os termos
se cancelam:
Expandindo o termo
:
Agora, subtraindo
de ambos os lados:
Resolvendo para
:
Passo 5
Então, descobrimos que
. Isso significa que todos os pontos
no plano complexo que têm a parte real menor que 2 satisfazem a desigualdade
. Geometricamente, isso corresponde a todos os pontos à esquerda da linha vertical que passa por
.
Resposta
A representação gráfica é o conjunto de todos os pontos no plano complexo onde a parte real
é menor que 2. Ou seja, todos os pontos à esquerda da reta vertical
.