Mostre explicitamente que a lei de conservação da carga não é invariante por uma transformação de Galileu.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que a lei de conservação da carga não é invariante sob uma transformação de Galileu. Basicamente, estamos falando de como a carga elétrica se comporta quando mudamos o referencial de observação, tipo de um jeito que a física clássica (newtoniana) descreve. Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações de Galileu funcionam e como a conservação da carga é expressa matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são as transformações de Galileu. Elas são usadas para passar de um referencial inercial para outro que está se movendo com velocidade constante em relação ao primeiro. Matematicamente, se temos duas coordenadas de espaço-tempo,
e
, a transformação de Galileu é dada por:
Aqui,
é a velocidade relativa entre os dois referenciais.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da lei de conservação da carga elétrica. Ela é expressa pela equação de continuidade:
Onde
é a densidade de carga e
é a densidade de corrente. Essa equação basicamente diz que a carga total é conservada ao longo do tempo.
Passo 4
Vamos agora aplicar a transformação de Galileu na equação de continuidade. Sob a transformação, temos:
Substituindo na equação de continuidade:
Expandindo o divergente:
Passo 5
Observamos que a equação transformada fica:
Comparando com a equação original de continuidade
, vemos que há um termo extra
que não está presente na equação original.
Passo 6
Esse termo extra implica que a equação de continuidade não é mantida sob a transformação de Galileu, ou seja, a lei de conservação da carga não é invariante quando mudamos para um referencial em movimento segundo Galileu.
Resposta
Portanto, mostramos explicitamente que a lei de conservação da carga não é invariante por uma transformação de Galileu, já que a equação de continuidade altera-se e não se mantém igual no novo referencial.