Mostre que a expressão do trabalho de expansão isotérmico reversível para um gás de van der Waals é igual a:
w=-n R T ln (V2-n b)(V1-n b)-a n^2(1V2-1)V1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que a expressão do trabalho durante uma expansão isotérmica reversível para um gás de van der Waals é igual a:
w = -n R T ln (V2-n b)(V1-n b) - a n^2(1V2 - 1V1)
Vamos usar conceitos de Termodinâmica, especificamente sobre processos isotérmicos e a equação de estado de van der Waals. Precisaremos entender como calcular o trabalho em uma expansão reversível e aplicar a equação de van der Waals para adaptar nossa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é trabalho em Termodinâmica. Quando um gás se expande ou comprime, ele realiza trabalho sobre o ambiente ou tem trabalho realizado sobre ele. Para uma expansão isotérmica (temperatura constante) e reversível, o trabalho w = -integralV1^V2 P , dV pode ser calculado usando a fórmula:
Aqui, é a pressão do gás, e e são os volumes inicial e final, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos trazer a equação de van der Waals para a jogada. A equação de van der Waals ajusta a equação dos gases ideais para levar em conta o volume ocupado pelas moléculas do gás e as forças de atração entre elas. Ela é dada por:
(P + a n^2V^2)(V - n b) = n R T
Onde:
  • P = n R TV - n b - a n^2V^2 e são constantes específicas do gás,
  • é o número de mols,
  • é a constante universal dos gases,
  • é a temperatura,
  • é o volume.
Podemos resolver essa equação para :

Passo 4

Substituímos essa expressão de w = -integralV1^V2 ( n R TV - n b - a n^2V^2 ) dV na fórmula do trabalho:
w = -n R T integralV1^V2 1V - n b , dV + a n^2 integralV1^V2 1V^2 , dV
Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 5

Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral 1V - n b , dV = ln |V - n b|
Segunda integral:
integral 1V^2 , dV = -1V
Aplicando os limites de integração:
w = -n R T [ ln(V - n b) ]V1^V2 + a n^2 [ -1V ]V1^V2
Calculando as diferenças:
w = -n R T ln V2 - n bV1 - n b - a n^2 ( 1V2 - 1V1 )

Resposta

Portanto, mostramos que o trabalho de expansão isotérmico reversível para um gás de van der Waals é igual a:
w = -n R T ln (V2-n b)(V1-n b) - a n^2(1V2 - 1V1)

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