Mostre que a expressão do trabalho de expansão isotérmico reversível para um gás de van der Waals é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que a expressão do trabalho durante uma expansão isotérmica reversível para um gás de van der Waals é igual a:
Vamos usar conceitos de Termodinâmica, especificamente sobre processos isotérmicos e a equação de estado de van der Waals. Precisaremos entender como calcular o trabalho em uma expansão reversível e aplicar a equação de van der Waals para adaptar nossa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é trabalho em Termodinâmica. Quando um gás se expande ou comprime, ele realiza trabalho sobre o ambiente ou tem trabalho realizado sobre ele. Para uma expansão isotérmica (temperatura constante) e reversível, o trabalho pode ser calculado usando a fórmula:
Aqui, é a pressão do gás, e e são os volumes inicial e final, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos trazer a equação de van der Waals para a jogada. A equação de van der Waals ajusta a equação dos gases ideais para levar em conta o volume ocupado pelas moléculas do gás e as forças de atração entre elas. Ela é dada por:
Onde:
  • e são constantes específicas do gás,
  • é o número de mols,
  • é a constante universal dos gases,
  • é a temperatura,
  • é o volume.
Podemos resolver essa equação para :

Passo 4

Substituímos essa expressão de na fórmula do trabalho:
Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 5

Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Aplicando os limites de integração:
Calculando as diferenças:

Resposta

Portanto, mostramos que o trabalho de expansão isotérmico reversível para um gás de van der Waals é igual a:

Exercícios relacionados

Sabendo-se que, para o mercúrio, a e 1 atm:
calcule o trabalho efetuado sobre uma gota de mercúrio de 1 g que é submetida a uma elevação gradual de pressão desde 1 atm até 1000 atm , considerando que a temperatura, a densidade e os coeficientes térmicos permaneçam constantes.
Calcule , q e w para uma expansão adiabática reversível de 1 mol de gás ideal diatômico partindo de e chegando a um volume 10 vezes maior que o inicial.
Calcule o trabalho realizado pelo sistema em uma expansão isotérmica de 1 mol de um gás ideal, a C, partindo de um estado inicial de pressão igual a 1 atm e chegando-se a um estado final de pressão , supondo que a expansão se dê:
c) em quatro etapas irreversíveis contra pressões externas de e 0,2 atm.
Um cubo de gelo de 25 g é adicionado a 200 mL de água a no interior de uma garrafa térmica. O gelo fundir-se-á inteiramente? Qual será a temperatura final do sistema? Dados: .