Mostre que a expressão do trabalho de expansão isotérmico reversível para um gás de van der Waals é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que a expressão do trabalho durante uma expansão isotérmica reversível para um gás de van der Waals é igual a:
Vamos usar conceitos de Termodinâmica, especificamente sobre processos isotérmicos e a equação de estado de van der Waals. Precisaremos entender como calcular o trabalho em uma expansão reversível e aplicar a equação de van der Waals para adaptar nossa fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é trabalho em Termodinâmica. Quando um gás se expande ou comprime, ele realiza trabalho sobre o ambiente ou tem trabalho realizado sobre ele. Para uma expansão isotérmica (temperatura constante) e reversível, o trabalho
pode ser calculado usando a fórmula:
Aqui,
é a pressão do gás, e
e
são os volumes inicial e final, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos trazer a equação de van der Waals para a jogada. A equação de van der Waals ajusta a equação dos gases ideais para levar em conta o volume ocupado pelas moléculas do gás e as forças de atração entre elas. Ela é dada por:
Onde:
-
e são constantes específicas do gás, -
é o número de mols, -
é a constante universal dos gases, -
é a temperatura, -
é o volume.
Podemos resolver essa equação para
:
Passo 4
Substituímos essa expressão de
na fórmula do trabalho:
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 5
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Aplicando os limites de integração:
Calculando as diferenças:
Resposta
Portanto, mostramos que o trabalho de expansão isotérmico reversível para um gás de van der Waals é igual a: